Явная схема Эйлера
Линейное уравнение
Сделанные замечания относительно реализации явной схемы для уравнения диффузии тепла сразу определяют алгоритм ее программирования в Mathcad. Для решения задачи нужно аккуратно ввести в листинг соответствующие формулы при помощи элементов программирования.
Решение системы разностных уравнений (9) для модели без источников тепла, т. е. ф(х, T, t)=o и постоянного коэффициента диффузии D=const приведена в листинге 13.1. В его первых трех строках заданы шаги по временной и пространственной переменным т и Д, а также коэффициент диффузии D, равный единице. В следующих двух строках заданы начальные (нагретый центр области) и граничные (постоянная температура на краях) условия, соответственно. Затем приводится возможное программное решение разностной схемы, причем функция пользователя v(t) задает вектор распределения искомой температуры в каждый момент времени (иными словами, на каждом слое), задаваемый целым числом t.
Листинг 13.1. Явная схема для линейного уравнения теплопроводности:
Начальное распределение температуры вдоль расчетной области и решение для двух моментов времени показано на рис. 13.7 сплошной, пунктирной и штриховой линиями, соответственно. Физически такое поведение вполне естественно – с течением времени тепло из более нагретой области перетекает в менее нагретую, а зона изначально высокой температуры остывает и размывается.
Рис. 13.7. Решение линейного уравнения теплопроводности (листинг 13.1)