Математические системы в образовании и в науке
Можно сказать, что даже самые мощные системы для численных расчетов являются полными "профанами" в символьной математике. Они начисто лишены даже задатков элементарного разума, что видно уже из приведенного примера – даже школьник знает, что сумма квадратов синуса и косинуса равна в точности единице при любом аргументе х. А что говорить о столь распространенных аналитических вычислениях, как упрощение сложных математических формул, осуществление подстановок, вычисление пределов, производных и первообразных функций, разложении их в ряды Тейлора и Фурье, вычислении корней многочленов с буквенными коэффициентами и т. д.?
Такая возможность действительно имеется, однако следует иметь в виду, что векторные графические объекты, скопированные из Mathematica через буфер обмена, не вполне корректно воспринимаются другими приложениями. При верстке данной книги это вызвало очень много проблем.
Трудно сказать, сколько слез пролито школьниками и их матерями по поводу неправильно сделанных математических преобразований на контрольных работах и экзаменах и сколько ребят восприняли математику как заклятого врага из-за первых неудач в ее изучении. Еще больший урон народному хозяйству (то бишь рынку) наносит неумение выпускников школ и вузов применять современные математические методы на практике, хотя именно это является конечной целью фундаментального математического образования. Многие студенты запоминают математические истины от силы на несколько дней во время экзаменов.
Как же найти выход из этого тупика? Одна из возможностей – применение достаточно универсальных СКМ, автоматизирующих большую часть математических вычислений. Такие системы позволяют пользователю – как студенту, так и научному работнику – быстро вспомнить полученные в вузе знания и легко использовать их на практике без этапа нудных и трудоемких рутинных вычислений и преобразований. А заодно и освоить новые для себя методы и разделы современной математики.
К сожалению, за пределами возможностей численных математических систем оказались обширные области математики, связанные с проведением аналитических расчетов – от простых подстановок и сокращений до аналитической обработки математических выражений и функций и обучения компьютера новым математическим закономерностям и соотношениям. Всей этой работой, относящейся в основном к разделам элементарной и высшей алгебры, и были вынуждены заниматься математики-аналитики.
Увы, в нашей системе образования недостаточное знакомство с современными СКМ характерно не только для студентов, но и для доцентов и профессоров вузов. Среди них хорошее владение СКМ скорее исключение, чем правило. Это серьезно препятствует решению ряда первостепенных проблем образования – повышению его фундаментальности и вхождению нашей образовательной системы в общемировую, где компьютерные системы символьной математики в последние годы нашли самое широкое применение.
Очевидно, что чем раньше пользователь ПК начнет знакомиться с СКМ, тем больше математических знаний он получит. Хотя, безусловно, желательно, чтобы такое использование шло под контролем опытного преподавателя.
К сожалению, у нас есть серьезная причина, препятствующая широкому применению СКМ в образовании, – слабость материально-технической базы школ, вузов, да и многих университетов. Классами с современными ПК многие наши образовательные учреждения не обладают. Тем не менее, это чисто техническая проблема, которая постепенно решается.
В новых стандартах образования роль СКМ наконец-то осознана всерьез. По ряду специальностей математического профиля предусмотрено изучение СКМ. Это делает книги, подобные данной, нужными для системы образования.
Разумны ли системы символьной математики?
Математика непрерывно развивается, и ни один самый способный ученик не в состоянии (и слава Богу!) вместить в извилины своего мозга все математические законы и правила, созданные за многовековую историю человечества. Сотни лет назад такие задачи, как решение квадратного уравнения в общем виде, были в числе труднейших математических задач, а сейчас их "щелкают" школьники. Даже многотомные справочники по математике не гарантируют полного описания всех ее возможностей. Так что нет ничего страшного в том, что в наш просвещенный век вычисление производных или первообразных функций в аналитическом виде берет на себя компьютер. И их применение внешне становится таким же простым, как таблица умножения.
Сейчас слова "компьютерный разум" обычно берут в кавычки, всячески подчеркивая, что компьютер сам по себе не способен дать принципиально новые результаты (то есть те, которые не были заранее заложены в него человеком, его создавшим). Для многих, что в целом справедливо, вопрос о том, разумна ли система символьной математики, подобен вопросу о том, разумен ли хороший и полный справочник по математике.
И все же применительно к современным системам символьной математики (и универсальным СКМ) такая аргументация, пожалуй, не вполне приемлема. Да, базовые формулы и правила символьных преобразований в математические системы компьютерной алгебры заложены их создателями. Поэтому принципиально новых научных данных система сама по себе вроде бы и не дает. Но разве не такова в целом и ситуация с обычным использованием математического аппарата любым математиком-аналитиком?
Между тем большинству конкретных пользователей системы символьной математики дают новые знания в виде далеко не очевидных для них математических и иных закономерностей. Результат сложных и многоэтапных рекуррентных символьных преобразований даже по известным правилам может быть действительно новым, то есть ранее не опубликованным, заранее не предсказуемым и далеко не очевидным. Этим системы символьной математики принципиально отличаются от обычных справочников по тем или иным формулам. Они дают сведения не только по жесткому набору формул, но и по тем аналитическим соотношениям, которые в такой набор не вошли.
Подобные результаты нередко могут подтолкнуть серьезного научного работника или педагога к открытию неизвестных закономерностей в исследуемых или изучаемых ими явлениях. К тому же современные системы компьютерной алгебры способны к расширению – в них можно вводить новые закономерности и связи (подчас самые смелые и безумные), а затем исследовать малоизвестные или вообще неизвестные результаты их действия, получаемые в результате сложных аналитических преобразований. Так что вполне допустимо считать такие системы в известной мере разумными и способными помочь пользователю в создании новых теоретических положений и даже научных теорий.
Немаловажный довод в пользу некоторой разумности современных систем символьной математики заключается в особом назначении примеров их применения, которых в справочной базе данных могут насчитываться тысячи. Здесь уместно упомянуть высказывание И. М. Гельфанда: "Теории приходят и уходят, а примеры остаются".
Во всех современных СКМ примеры применения "живые" – вы можете подыскать наиболее близкий к решаемой вами задаче пример и тут же перестроить его под свои нужды. Обычные книги и справочники такой возможности принципиально не дают. Обучение на примерах – один из самых эффективных методических приемов. Он широко используется в данной книге и составляет основу справочной базы данных систем Mathematica.
В свое время нас учили, что количество переходит в качество. Примеров этого в природе превеликое множество. Системы компьютерной математики по обилию встроенных в них функций, правил преобразования и конкретных примеров применения уже вышли за пределы, которые способен оценить индивидуальный пользователь, даже если он достаточно опытный математик. К примеру, ядро Mathematica 4 хранит данные о примерно 5 тысячах интегралов! Это говорит о том, что СКМ находятся уже на пороге того, что их количественные характеристики перерастут в качественные. Среди них может оказаться и разум СКМ – на сей раз без каких-либо оговорок.