Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 3/4

Функции пакета FourierTransform

Подпакет FourierTransform пакета Calculus в версии Mathematics 3 служит для осуществления расширенных преобразований Фурье. Он вызывается командой:

<<Calculus'FourierTransform'

Ввиду важности этих преобразований в системе Mathematica 4 их функции были размещены уже в ядре системы. Это следующие функции:

  • FourierTransform [expr, t, w] – возвращает результат прямого преобразования Фурье над выражением expr [t], выраженного через переменную w;
  • InverseFourierTransform[expr, w, t] – возвращает результат обратного преобразования Фурье над выражением expr[w], выраженного через переменную t;
  • FourierCosTransform[expr, t, w] – возвращает результат косинусного преобразования Фурье над выражением expr [t ], выраженного через переменную w;
  • FourierSinTransform[expr, t, w] – возвращает результат синусного преобразования Фурье над выражением expr [t], выраженного через переменную w;
  • FourierTransform [expr, {tl,t2}, {wl, w2 } ] – возвращает результат прямого преобразования Фурье над выражением expr [ t1, t2,…], выраженного через переменные {w1, w2,-…};
  • InverseFourierTransformtexpr, {tl,t2}, {wl,w2} ] – возвращает результат обратного преобразования Фурье над выражением expr [ wl, wl,…], выраженного через переменные {t1, t2,…}.,

Примеры осуществления прямого и обратного преобразований Фурье представлены ниже:

FourierTransform[Sin[t]*t:2, t, w]
-In(DiracDelta``[1 - w] - DiracDelta``[1 + w])
  
InverseFourierTransform[%, w, t]
t2Sin[t]
  
FourierCosTransform[Sin[t]*t:2, t, w]
-8w2/(1-w2)3-2/(1-w2)2
  
FourierSinTransform[Cos[a*t], t, w]
-w/(a2-w2)
  
FourierTransform[tl^2 Exp[-a t2] UnitStep[t1, t2],
{t1, t2}, {w1, w2}]
  
-2I/w13-nDiracDelta``[w1]/a-IW2
InverseFourierTransformtwl/(1-b*w2), {w1, w2}, {t1, t2}]

Для реализации спектрального анализа и синтеза имеются следующие функции:

  • FourierExpSeries [expr, {x, xmin, xmax), n] – возвращает разложение expr [х] в экспоненциальный ряд Фурье с n членами на отрезке {xmin, xmax};
  • FourierExpSeriesCoef f icient [expr, {x, xmin, xmax},n] – возвращает коэффициенты разложения expr [x] в экспоненциальный ряд Фурье с n членами на отрезке {xmin, xmax};
  • FourierTrigSeries [expr, {x, xmin, xmax}, n] – возвращает разложение expr [x] в тригонометрический ряд Фурье с n членами на отрезке {xmin, xmax};
  • FourierSinSeriesCoef f icient [expr, {x, xmin, xmax}, n] – возвращает синусные коэффициенты разложения expr [x] в тригонометрический ряд Фурье с n членами на отрезке {xmin,xmax};
  • FourierCosSeriesCoef f icient [expr, {x, xmin, xmax}, n] – возвращает косинусные коэффициенты разложения expr [x] в тригонометрический ряд Фурье с n членами на отрезке {xmin, xmax}.

Рисунок 5.12 иллюстрирует создание пилообразного сигнала, его разложение в тригонометрический ряд Фурье с n = 4, графическое воспроизведение сигнала и его представление суммой из четырех гармоник (на рисунке оставлены только совмещенные графики). Таким образом, последняя операция демонстрирует проведение синтеза пилообразного сигнала по четырем гармоникам.

Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 3/4 › Представление и обработка данных › Функции пакета FourierTransform
Рис. 5.12. Создание пилообразного сигнала, его разложение в тригонометрический ряд Фурье и синтез сигнала по четырем гармоникам

Помимо указанных функций существует целая группа функций для численных операций, связанных с разложением в ряд Фурье. Все они имеют в начале имени букву N, например:

  • NFourierTrigSeries [expr, {x, xmin,xmax}, n] – возвращает разложение expr [ x ] в тригонометрический ряд Фурье с n членами на отрезке {xmin, xmax} в численном виде.

Предоставляем читателю опробовать эти функции самостоятельно.

Если Вы заметили ошибку, выделите, пожалуйста, необходимый текст и нажмите CTRL + Enter, чтобы сообщить об этом редактору.