Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 3/4

Векторный анализ (VectorAnalysis). Системы координат и их преобразования.

Подпакет VectorAnalysis содержит множество функций, используемых при выполнении векторного анализа. Здесь надо иметь в виду, что речь идет не о векторах как представителях одномерных массивов, которые рассматривались ранее. В данном случае вектор – это направленный отрезок прямой в пространстве, заданном той или иной системой координат.


Заметная часть функций подпакета VectorAnalysis относится к заданию и преобразованию координат:

  • Coordinates [ ] – возвращает имена переменных текущей системы координат;
  • Coordinates [coordsys] – возвращает имена переменных системы координат coordsys;
  • SetCoordinates [coordsys] – устанавливает систему координат coordsys с текущими переменными;
  • Coordinates [coordsys, {vars}] – устанавливает систему координат coordsys с переменными, заданными списком {vars}.

Ниже даны названия систем координат и соответствующие им представления.

Наименование Представление
Прямоугольные Cartesian [х, у, z]
Цилиндрические Cylindrical [r, theta, z]
Сферические Spherical [r, theta, phi]
Параболические цилиндрические ParabolicCylindrical [u, v, z]
Параболические Paraboloidal [u, v, phi]
Эллиптические цилиндрические EllipticCylindrical [u, v, z, a]
Вытянутые сфероидальные ProlateSpheroidal [xi, eta, phi, a]
Сплющенные сфероидальные OblateSpheroidal [xi, eta, phi, a]
Биполярные Bipolar[u, v, z, a]
Бисферические Bispherical [u, v, phi, a]
Тороидальные Toroidal [u, v, phi, a]
Конические Conical [lambda, mu, nu, a, b]
Конфокальные эллипсоидальные ConfocalEllipsoidal [lambda, rnu, nu, a, b, c]
Конфокальные параболические ConfocalParaboloidal [lambda, mu, nu, a, bj

Например, параболическую систему координат можно задать следующим образом:

SetCoordinates[Paraboloidal[x, y, z] ]
Paraboloidal [x, y, z]
{CoordinateSystem, Coordinates[]}
{Paraboloidal, {x, y, z}}

Ряд функций служит для контроля и установки параметров систем координат:

  • CoordinateRanges [ ] – возвращает пределы изменения переменных текущей координатной системы;
  • Parameters [ ] – возвращает параметры текущей координатной системы;
  • ParametersRanges [ ] – возвращает пределы изменения параметров текущей координатной системы;
  • CoordinateRanges [coordsys] – возвращает пределы изменения переменных координатной системы coordsys;
  • Parameters [coordsys] – возвращает параметры координатной системы coordsys;
  • ParametersRanges [coordsys] – возвращает пределы изменения параметров координатной системы coordsys;
  • SetCoordinates [coordsys, {vars,param} ] – устанавливает параметры текущей координатной системы как параметры coordsys с переменными vars и параметрами param.

Ниже представлены примеры применения этих функций:

CoordinateRanges[]
{0<X<∞,0<Y< ∞,-π<Z<=π}
  
Parameters[ ]
{}
ParameterRanges[ ]
Coordinates[Conical], CoordinateRanges[Conical]
{{Llanibda, Mmu, Nnu}, {-< Llambda< ∞, l< Mmu2 < 4, Nnu2< 1}}
  
Parameters[Bipolar],ParameterRanges[Bipolar]
{{1}, 0< #1<∞}

Для преобразования координат служат следующие функции:

  • CoordinatesToCartesian [pt] – преобразование текущих координат в декартовы;
  • CoordinatesToCartesian [pt, coordsys] – преобразование координат coordsys в декартовы;
  • CoordinatesFromCartesian [pt] – преобразование из декартовых координат в текущие;
  • CoordinatesFromCartesian [pt, coordsys] – преобразование из декартовых координат в координаты coordsys.

Эти примеры демонстрируют преобразования координат:

CoordinatesToCartesian[{I, Pi/3, Pi/3}, Spherical]
  
CoordinatesToCartesian [u, v, phi}, Bipolar]
  
CoordinatesFromCartesian [ {x, y, z}, Bipolar]
{-2Im[ArcCoth[x+ Iy]], 2Re[ArcCoth[x+ Iy] ], z}
Если Вы заметили ошибку, выделите, пожалуйста, необходимый текст и нажмите CTRL + Enter, чтобы сообщить об этом редактору.