Разложение функций в ряды
В заключительной (третьей) части этого документа (рис. 8.10) представлено уже истинное разложение синуса в ряд Тейлора в окрестности смещенной от нуля точки х = 1. При смещении точки, относительно которой ведется разложение, выражение для ряда Тейлора существенно изменяется. В нем, во-первых, появляются члены четных степеней, а во-вторых, фигурирует аргумент вида (х -1)n. Нетрудно заметить, что даже при представлении такой "простой" функции, как sin(x), приемлемая погрешность представления одного периода достигается при числе членов ряда Тейлора порядка 10 и более.
Однако существенное повышение порядка ряда нецелесообразно из-за резкого возрастания вычислительных погрешностей. Кроме того, серьезным недостатком аппроксимации рядом Тейлора является непредсказуемое поведение полинома вдали от точки, относительно которой задается представление. Это хорошо видно на всех трех приведенных примерах.
Рис. 8.10, а) Разложение функции sin(x) в ряд Тейлора 12-го порядка относительно точки х = 1 и построение ее графика
Рис. 8.10, б)
Помимо указанных выше разложений в ряд Maple 7 имеет множество функций для иных разложений. Например, в пакете numapprox имеется функция laurent(expr,var,n), позволяющая получить разложение в ряд Лорана, функция chebyshev(expr, eq/nm, eps) дает разложение в форме полиномов Чебышева и т. д.