Иллюстрированный самоучитель по Maple 9

Криволинейные интегралы

Теперь, когда параметрические зависимости заданы, можно вычислить интеграл.

Иллюстрированный самоучитель по Maple 9 › Интегрирование › Криволинейные интегралы

Последнее выражение следует упростить. При упрощении в процедуре simplify() после параметра – переменной среды %, ссылающейся на значение интеграла – указана опция symbolic.

В этом случае упрощение будет производиться в символьном виде. В частности, при вычислении квадратного корня из переменной в квадрате (в данном случае это переменная а) результатом будет сама эта переменная (а не ее модуль).

Иллюстрированный самоучитель по Maple 9 › Интегрирование › Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы находят вполне конкретное практическое применение. В частности, с помощью криволинейных интегралов (второго рода) можно вычислять площади фигур, ограниченных кривыми.

Наиболее удобен такой подход, когда ограничивающие область кривые заданы в параметрическом виде.

Задача 4.18

С помощью криволинейного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (Декартов лист).

Формально площадь фигуры, ограниченной кривой, может быть записана следующим образом.

Иллюстрированный самоучитель по Maple 9 › Интегрирование › Криволинейные интегралы

Чтобы вычислить этот интеграл, необходимо параметризировать кривую, заданную следующим уравнением.

Иллюстрированный самоучитель по Maple 9 › Интегрирование › Криволинейные интегралы

Предположим, что вдоль кривой координаты х, у и переменная-параметр t связаны следующим соотношением.

Иллюстрированный самоучитель по Maple 9 › Интегрирование › Криволинейные интегралы

Подставляем это соотношение вместо у в уравнение кривой.

Иллюстрированный самоучитель по Maple 9 › Интегрирование › Криволинейные интегралы

Полученное уравнение (в переменных х и t) решаем относительно х.

Иллюстрированный самоучитель по Maple 9 › Интегрирование › Криволинейные интегралы

Если Вы заметили ошибку, выделите, пожалуйста, необходимый текст и нажмите CTRL + Enter, чтобы сообщить об этом редактору.