Иллюстрированный самоучитель по MatLab

Приведение матриц к форме Шура и Хессенберга

Функция qz(A,B,' real') при заданных матрицах А и В возвращает действительные треугольную матрицу ВВ и квазитреугольную матрицу АА с 2x2 диагональными блоками, соответствующими парам сопряженных комплексных значений. Так как матрица АА квазитреугольная, то необходимо решить проблемы обобщения 2x2 для получения подлинных собственных значений.

Пример:

• Т = schur(A) – возвращает матрицу Шура Т.
• [U.T] = schur(A) – возвращает матрицу Шура Т и унитарную матрицу U, такие что A=U Т U и U' и=еуе(51ге(А))(единичная матрица размера А);
• [U,T] = rsf2csf(u.t) [В MATLAB 6 в функции schur, если ее входной аргумент – действительная матрица, может использоваться новый параметр 'complex' (schur,'complex'), позволяющий получить комплексную форму Шура без использования функции преобразования rsf2csf. – Примеч. ред.] – преобразование результатов предыдущей функции (действительной формы Шура) в комплексную форму Шура может использоваться только после вызова [u,t] = schur(A) Комплексная форма Шура – это верхняя треугольная матрица со всеми собственными значениями на диагонали. Действительная форма Шура имеет действительные собственные значения на диагонали, а комплексные собственные значения содержатся в 2x2 блоках, расположенных вдоль диагонали. И входные, и выходные матрицы U, u и Т, t представляют собой соответственно унитарные матрицы и матрицы Шура исходной матрицы А, которая удовлетворяет условиям A=UTU' и U' U=eye(si ze(A));
• Н = hess(A) – находит Н, верхнюю форму Хессенберга для матрицы А;
• [Р.Н] = hess(A) – возвращает матрицу Хессенберга Н и унитарную матрицу преобразований Р, такую что А=Р*Н*Р' и P'*P=eye(s1ze(A)).

Элементы матрицы Хессенберга, расположенные ниже первой поддиагонали, равны нулю. Если матрица симметричная или эрмитова, то матрица Хессенберга вырождается в трехдиагональную. Эта матрица имеет те же собственные значения, что и оригинал, но для их вычисления необходимо меньшее количество операций. Пример:

Что нового мы узнали?

В этом уроке мы научились:

• Находить числа обусловленности матриц, их определитель, след и ранг.
• Находить векторную и матричную нормы и различать их.
• Определять ортонормальный базис матриц.
• Приводить матрицы к треугольной форме.
• Определять угол между двумя подпространствами.
• Осуществлять разложение Холецкого, LU- и QR-разложения матриц.
• Вычислять обратные матрицы.
• Находить собственные значения и сингулярные числа матриц.
• Приводить матрицы к формам Шура и Хессенберга.