Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12

Обыкновенные дифференциальные уравнения: динамические системы

  • О постановке задач. Задачи Коши для ОДУ.

    В этой главе рассматриваются численные методы решений задач с начальными условиями (называемых задачами Коши) для обыкновенных дифференциальных уравнений (далее используется сокращение ОДУ).
  • Фазовый портрет динамической системы

    Модели, основанные на задачах Коши для ОДУ, часто называют динамическими системами, подчеркивая, что, как правило, они содержат производные по времени t и описывают динамику некоторых параметров. Проблемы, связанные с динамическими системами, на самом деле весьма разнообразны и зачастую не сводятся к простому интегрированию ОДУ.
  • Дифференциальное уравнение N-го порядка

    Для решения ОДУ порядка N>1 в Mathcad предусмотрены две возможности: | вычислительный блок Given/odesolve (начиная с версии 2000) – в этом случае решение имеет вид функции от t; | встроенные функции решения систем ОДУ, причем уравнения высших порядков необходимо предварительно свести к эквивалентной системе уравнений первого порядка, как об этом рассказано в разд.
  • Система N дифференциальных уравнений. Встроенные функции для решения систем ОДУ.

    При помощи Mathcad можно решать системы N>1 ОДУ первого порядка, если они записаны в стандартной форме (Коши) в виде векторного соотношения: Y' (t)=F(Y(t),t) (см. разд. 9.1. 1). | В Mathcad имеется несколько встроенных функций, которые позволяют решать задачу Коши различными численными методами.
  • Решение одного уравнения (N=1)

    Метод решения ОДУ при помощи встроенных функций rkfixed, Rkadapt или Bulstoer (в противоположность вычислительному блоку Given/odesoive) сохранился с прежних версий Mathcad (до 2000-й).
  • Решение систем ОДУ в одной заданной точке

    Зачастую при решении дифференциальных уравнений требуется определить значения искомых функций не на всем интервале (t0,t1), а только в одной его последней точке. Например, весьма распространены задачи поиска аттракторов динамических систем.
  • О численных методах

    В завершение раздела сделаем несколько важных замечаний относительно выбора численного алгоритма решения ОДУ и задания его параметров. Они не претендуют на общность, но, надеемся, будут весьма полезны читателю, особенно в случае возникновения проблем.
  • Жесткие системы ОДУ

    До сих пор мы имели дело с "хорошими" уравнениями, которые надежно решались численными методами Рунге-Кутты. Однако имеется класс так называемых жестких (stiff) систем ОДУ, для которых стандартные методы практически неприменимы, поскольку их решение требует исключительно малого значения шага численного метода.
  • Функции для решения жестких ОДУ

    Решение жестких систем дифференциальных уравнений можно осуществить только с помощью встроенных функций, аналогичных по действию семейству рассмотренных выше функций для обычных ОДУ: | Radau(y0,t0,t1,M,F) – алгоритм RADAUS для жестких систем ОДУ;
  • Пример: химическая кинетика

    Рассмотрим классическую модель химической кинетики (Робертсон, 1966), которая как нельзя лучше передает смысл понятия жесткости ОДУ. | Попытка решения стандартными методами | Рассмотрим составную схему химического взаимодействия трех веществ.
  • Примеры: классические динамические системы. Модели динамики биологических популяций.

    В предыдущих разделах было использовано в качестве примера в основном линейное уравнение осциллятора (оно содержало только первую степень неизвестных функций и их производных). Между тем многие нелинейные уравнения демонстрируют совершенно удивительные свойства, причем решение большинства из них можно получить лишь численно.
  • Автоколебания

    Рассмотрим решение уравнения Ван дер Поля, описывающего электрические колебания в замкнутом контуре, состоящем из соединенных последовательно конденсатора, индуктивности, нелинейного сопротивления и элементов, обеспечивающих подкачку энергии извне (листинг 9.14).
  • Странный аттрактор

    Одна из самых знаменитых динамических систем предложена в 1963 г. Лоренцем в качестве упрощенной модели конвективных турбулентных движений жидкости в нагреваемом сосуде тороидальной формы. Система состоит из трех ОДУ и имеет три параметра модели (листинг 9.15).
  • Брюсселятор

    До сих пор в этой главе в качестве примеров расчета динамических систем мы приводили графики 1-3 траекторий на фазовой плоскости. Однако для надежного исследования фазового портрета необходимо решить систему ОДУ большое количество раз с самыми разными начальными условиями (и, возможно, с разным набором параметров модели), чтобы посмотреть, к каким аттракторам сходятся различные траектории.
Если Вы заметили ошибку, выделите, пожалуйста, необходимый текст и нажмите CTRL + Enter, чтобы сообщить об этом редактору.