Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12
Дифференциальные уравнения в частных производных
-
Дифференциальные уравнения в частных производных представляют собой одну из наиболее сложных и одновременно интересных задач вычислительной математики. Эти уравнения характеризуются тем, что для их решения не существует единого универсального алгоритма, и большинство задач требует своего собственного особого подхода.
-
На протяжении всей главы мы будем использовать в качестве примера очень наглядное и имеющее различные, от очевидных до самых неожиданных, решения уравнение теплопроводности.
-
Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности (11.3) и на его примере разберем наиболее часто использующийся для численного решения уравнений в частных производных метод сеток.
-
Рассмотрим сначала математические аспекты построения разностной схемы для уравнения диффузии тепла, а затем приведем примеры работы разработанного алгоритма применительно к линейному и нелинейному уравнениям.
-
В отличие от явной схемы Эйлера, неявная является безусловно-устойчивой (т. е. не выдающей "разболтки" ни при каких значениях коэффициента Куранта). Однако ценой устойчивости является необходимость решения на каждом шаге по времени системы алгебраических уравнений.
-
Все, что было сказано до сих пор, касалось исключительно способов решения одномерных (в смысле пространственных координат) уравнений. И алгоритмы разностных схем, и встроенные функции, включая появившиеся в 11-й версии (см.
-
Как видно из предыдущего раздела, с уравнениями в частных производных вполне можно справиться и не прибегая к специфическим средствам Mathcad. Между тем в версиях Mathcad 11 (и выше) имеется несколько встроенных функций, при помощи которых можно автоматизировать процесс решения дифференциальных уравнений в частных производных.
-
Решение эллиптических уравнений в частных производных реализовано только для единственного типа задач – двумерного уравнения Пуассона. | Это уравнение содержит вторые производные функции u(х,у) по двум пространственным переменным: | Уравнение Пуассона описывает, например, распределение электростатического поля u(х,у) в двумерной области с плотностью заряда f (x,y), или (см. разд.
Если Вы заметили ошибку, выделите, пожалуйста, необходимый текст и нажмите CTRL + Enter, чтобы сообщить об этом редактору.