Пример: уравнение диффузии тепла
Стационарное двумерное уравнение
Частный случай уравнения теплопроводности определяет стационарную, т. е. не зависящую от времени, задачу. Стационарное уравнение описывает физическую картину распределения температуры по пластине, не изменяющуюся с течением времени. Такая картина может возникнуть при условии, что стационарный источник тепла действует довольно продолжительное время, и переходные процессы, вызванные его включением, прекратились. Пример численного решения такого уравнения показан на рис. 11.2 в виде поверхности u(х,у).
Рис. 11.2. Решение стационарного двумерного уравнения теплопроводности (см. листинг 11.7 ниже)
Как несложно сообразить, если искомая функция не зависит от времени, то частная производная по времени в левой части уравнения равна нулю, и само уравнение можно переписать (переобозначив ради упрощения φ<-φ/D) следующим образом:
Полученное уравнение, согласно классификации предыдущего раздела, является эллиптическим. Его называют уравнением Пуассона, а для его решения в Matcad предусмотрены две встроенные функции. Если, к тому же, источники равны нулю, то уравнение (11.2), принимающее вид Δu=0, называют уравнением Лапласа.
Одномерное динамическое уравнение
Предположим, что мы рассматриваем задачу распределения тепла не по плоской поверхности, а по удлиненному телу типа металлического стержня (рис. 11.3). В этом случае зависимость от координаты у в общем уравнении теплопроводности пропадает, и получается одномерное уравнение:
Одномерное уравнение намного проще двумерного, поскольку объем вычислений для реализации алгоритма его численного решения не так велик. Типичное решение одномерного уравнения диффузии тепла с коэффициентом диффузии D=2, нулевым источником ф=о и начальным распределением температуры в форме нагретой центральной области стержня показано (в виде графика поверхности) на рис. 11.4.
Начиная с версии Mathcad 11, для решения одномерных параболических и гиперболических уравнений можно применять встроенную функцию pdesolve.
Рис. 11.3. Физическая модель одномерного уравнения теплопроводности
Рис. 11.4. Решение одномерного уравнения теплопроводности (см. листинг 11.1 ниже)