Дифференцирование. Первая производная.
Листинг 7.11. Символьное и численное дифференцирование функции пользователя:
Листинг 7.12. Определение функции через оператора дифференцирования:
В обоих листингах первой строкой определяется функция f (x)=1/x. Во второй строке листинга 7.11 с помощью символьного процессора находится аналитическое выражение ее производной, а в оставшейся части, подобно листингу 7.10, сначала численно, а затем аналитически определяются значения этой производной в точке х=0.1. В листинге 7.12 через производную от f (х) определяется еще одна пользовательская функция д(х) и затем находится ее конкретное значение в той же точке х=0.1.
Как Вы заметили, оператор дифференцирования, в основном, соответствует его общепринятому математическому обозначению. Однако в некоторых случаях при его вводе следует проявить осторожность. Рассмотрим один показательный пример, приведенный в листинге 7.13. Его первые две строки вычисляют производную sin(x) в точке х=0.5. Последняя строка демонстрирует неправильное применение оператора дифференцирования. Вместо вычисления производной sin(x) в той же точке, как этого можно было ожидать, получено нулевое значение. Это случилось потому, что аргумент функции sin(x) введен не в виде переменной х, а в виде числа. Поэтому Mathcad воспринимает последнюю строку как вычисление сначала значения синуса в точке х=0.5, а затем дифференцирование этого значения (т. е. константы) также в точке х=0.5, в соответствии с требованием первой строки листинга. Поэтому ответ, на самом деле, неудивителен – в какой точке ни дифференцируй константу, результатом будет ноль.
Листинг 7.13. Пример правильного и неправильного применения дифференцирования:
Для численного дифференцирования Mathcad применяет довольно сложный алгоритм, вычисляющий производную с колоссальной точностью до 7-8-го знака после запятой. Этот алгоритм (метод Риддера) описан во встроенной справочной системе Mathcad, доступной через меню Help (Справка). Погрешность дифференцирования не зависит от констант TOL или CTOL, в противоположность большинству остальных численных методов, а определяется непосредственно алгоритмом.
Исключение составляют функции, которые дифференцируются в окрестности сингулярной точки; например для рассмотренной нами функции f (x)=1/x это будут точки вблизи х=0. При попытке найти ее производную при х=0 будет выдано сообщение об одной из ошибок деления на ноль "Can't divide by zero" (Деление на ноль невозможно) или "Found a singularity while evaluating this expression. You may be dividing by zero" (Найдена сингулярность при вычислении этого выражения. Возможно, Вы делите на ноль). Если попробовать численно определить производную очень близко к нулю, например, при х=10-100, то может появиться сообщение об ошибке "Can't converge to a solution" (Невозможно найти решение). Встретившись с одной из упомянутых ошибок, присмотритесь повнимательнее к дифференцируемой функции и убедитесь, что Вы не имеете дело с точкой сингулярности.