Описание системы ОДУ
Можно использовать m-файл типа odefunction (или m-file типа odefile для совместимости с прежними версиями, но последний случай мы рассматривать не будем, чтобы определить систему дифференциальных уравнений в одной из явных (первая формула) или неявных форм:
y'= F(t, у), My' = F(t, у) или M(t)y' = Y(t, у),
Где t – независимая переменная (скаляр), которая обычно представляет время; у – вектор зависимых переменных; F – функция от t и у, возвращающая вектор-столбец такой же длины как и у; М и М(£) – матрицы, которые не должны быть вырожденными. М может быть и константой.
Рассмотрим пример решения уравнения. Оно сводится к системе уравнений.
Подготовим m-файл ode-функции vdp.m:
function [outl.out2.out3] = vdp(t.y.flag) if nargin < 3 | isempty(flag) outl = [2.*y(2).*(l-y(2). ^ 2)-y(1); y(1)]; elseswitch(flag) case 'inlt'% Return tspan .y0 and options out1 = [0 20]; out2 = [2; 0]; out3 = [ ]; otherwise error([' Unknown request ''' flag '''.']); endendТогда решение системы с помощью решателя ode23 реализуется следующими командами:
>> [T.Y] = ode23(@vdp.[0 20]. [2 0]);Еще проще работать с решателями нового поколения. Рассмотрим систему уравнений:
y'+abs(y)=0; y(0)=0; у(4)=-2.
Для решения в пределах отрезка [0; 4] с помощью bvp4c достаточно привести эту систему к виду: y'=-abs(y), y(0)=0; у(4)+2=0. Затем – создаем две ode-функции: twoode и twobc в разных m-файлах:
function dydx = twoode(x,y) dydx = [ y(2)-abs(yd)) ]; function res = twobc(ya.yb) res = [ ya(1)yb(1) + 2 ];Теперь наберите в командной строке type twobvp и посмотрите само решение уравнения, которое содержится в уже имеющемся в системе файле twobvp. А исполнив команду twodvp, можно наблюдать результат решения в виде графиков. В решении вы найдете структуру узлов начальной сетки решения, которая поясняется ниже.
- solinit – это структура узлов начальной сетки решения (в любой шкале), но такая, что solinit.x=a, solinit.x – b. И функция у, и функция у' должны быть непрерывны на участке [а b]. Дотадка для начальной итерации so1imt=bvpi-mt(x,yinit.params) в bvp4c отличается тем, что ваше начальное представление о функции у yinit можно вводить не только в виде вектора, но и как символьную функцию.
Рекомендуется просмотреть также пример mat4bvp и дополнительные примеры решения систем дифференциальных уравнений, приведенные в файле odedemo. Во многих случаях решение задач, сводящихся к решению систем дифференциальных уравнений, удобнее осуществлять с помощью пакета расширения Simulink.