Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12

Статистические функции

В Mathcad имеется ряд встроенных функций, задающих используемые в математической статистике законы распределения. Они вычисляют как значение плотности вероятности различных распределений по значению случайной величины х, так и некоторые сопутствующие функции. Все они, по сути, являются либо встроенными аналитическими зависимостями, либо специальными функциями. Большой интерес представляет наличие генераторов случайных чисел, создающих выборку псевдослучайных данных с соответствующим законом распределения, что является основой методов Монте-Карло (см. разд. 12.2).

В Mathcad заложена информация о большом количестве разнообразных статистических распределений, включающая, с одной стороны, табулированные функции вероятности, и, с другой, возможность генерации последовательности случайных чисел с соответствующим законом распределения. Для реализации этих возможностей имеются четыре основных категории встроенных функций. Их названия являются составными и устроены одинаковым образом: первая литера идентифицирует определенный закон распределения, а оставшаяся часть (ниже в списке функций она условно обозначена звездочкой) задает смысловую часть встроенной функции:

• d* (x,par) – плотность вероятности;
• р*(х,раг) – функция распределения;
• q*(P,par) – квантиль распределения;
• r* (M,раr) – вектор м независимых случайных чисел, каждое из которых имеет соответствующее распределение:
  • х – значение случайной величины (аргумент функции);
  • Р – значение вероятности;
  • par – список параметров распределения.

Чтобы получить функции, относящиеся, например, к равномерному распределению, вместо * надо поставить unif и ввести соответствующий список параметров par. Он будет состоять в данном случае из двух чисел: а,b – границ интервала распределения случайной величины.

Перечислим все типы распределения, реализованные в Mathcad, вместе с их параметрами, на этот раз обозначив звездочкой * недостающую первую букву встроенных функций. Некоторые из плотностей вероятности показаны на рис. 12.1.

• *beta (x, s1, s2) – бета-распределение (s1, s2>0 – параметры, 0<x<1).
• *binom(k,n,p) – биномиальное распределение (n – целый параметр, 0<k<n и 0<р<1 – параметр, равный вероятности успеха единичного испытания).
• *cauchy(x,l,s) – распределение Коши (l – параметр разложения, s>0 – параметр масштаба).
• *chisq(x,d) – χ² ("хи-квадрат") распределение (d>0 – число степеней свободы).
• *ехр(х,r) – экспоненциальное распределение (r>0 – показатель экспоненты).
• *F(x,d1,d2) – распределение Фишера (d1,d2>0 – числа степеней свободы).
• *gamma(x,s) – гамма-распределение (s>0 – параметр формы).
• *geom(k,p) – геометрическое распределение (0<р<1 – параметр, равный вероятности успеха единичного испытания).
• *hypergeom(k,a,b,n) – гипергеометрическое распределение (а,b,n – целые параметры).
• *lnorm(х,µ, σ) – логарифмически нормальное распределение (µ– натуральный логарифм математического ожидания, σ >0 – натуральный логарифм среднеквадратичного отклонения).
• *logis (х,l,s) – логистическое распределение (1 – математическое ожидание, s>0 – параметр масштаба).
• *nbinom(k,n,p) – отрицательное биномиальное распределение (n>0 – целый параметр, 0<р<1).
• *norm(х,µ, σ) – нормальное распределение (µ– среднее значение, σ >0 – среднеквадратичное отклонение).
• *pois (k,λ) – распределение Пуассона (λ >0 – параметр).
• *t (x,d) – распределение Стьюдента (d>0 – число степеней свободы).
• *unif (х,а,b) – равномерное распределение (а<b – границы интервала).
• *weibuii (x, s) – распределение Вейбулла (s>0 – параметр).

Рис. 12.1. Плотность вероятности некоторых распределений

Примечание
Математический смысл каждой из четырех типов функций будет объяснен в следующем разделе на примере распределения Гаусса.

Вставку рассмотренных статистических функций в программы удобно осуществлять с помощью диалогового окна Insert Function (Вставка функции). Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1. Установите курсор на место вставки функции в документе.
2. Вызовите диалоговое окно Insert Function нажатием кнопки f(x) на стандартной панели инструментов, или командой меню Insert › Function (Вставка › Функция), или нажатием клавиш CTRL + E.
3. В списке Function Category (Категория функции) (рис. 12.2) выберите одну из категорий статистических функций. Категория Probability Density (Плотность вероятности) содержит встроенные функции для плотности вероятности, Probability Distribution (Функция распределения) – для вставки функций или квантилей распределения, Random Numbers (Случайные числа) – для вставки функции генерации случайных чисел.
4. В списке Function Name (Имя функции) выберите функцию в зависимости от требующегося закона распределения. При выборе того или иного элемента списка в текстовых полях в нижней части окна будет появляться информация о назначении выбранной функции.
5. Нажмите кнопку ОК для вставки функции в документ.

Рис. 12.2. Диалоговое окно Insert Function