Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 3/4

Преобразования Лапласа (LaplaceTransform)

Преобразования Лапласа (LaplaceTransform) – важный вид интегральных преобразований. Они лежат в основе, например, символического метода расчета электрических цепей. В системе Mathematica 3 функции преобразования размещены в подпакете Laplace-Transform. Но в CKM Mathematica 4 эти функции стали встроенными.

Основными являются следующие функции этого класса:

  • LaplaceTransform[expr, t, s] – возвращает результат прямого преобразования Лапласа для выражения expr [t] в виде функции переменной s;
  • InverseLaplaceTransform[expr, s,t] – возвращает результат обратного преобразования Лапласа для выражения expr [s] в виде функции переменной t;
  • LaplaceTransform [expr, {t1, t2,…}, {s1i, s2,…} ] – возвращает результат прямого преобразования Лапласа для выражения expr [ t1, t2,… ] в виде функции переменных {s1, s2,…};
  • InverseLaplaceTransform [expr, {s1, s2,…}, {t1, t2,…} ] – возвращает результат обратного преобразования Лапласа для выражения expr [s1, s2,…] в виде функции переменных {t1, е2,…}.

Хотя имена переменных t и s можно выбирать произвольно, обычно t означает время, as – оператор Лапласа. Ниже представлено несколько примеров выполнения преобразования Лапласа:

<<Calculus'LaplaceTransfornT'
  
LaplaceTransform[Exp[-t]*Sin[t], t, s]
1+1 / (1 + s)2
  
InverseLaplaceTransform[%, s, t]
E-tSin[t]
  
LaplaceTransform[t^2 Exp[-x], {t,x}, {s,v}]
2 / s3(1 + v)

Функции z-преобразований (ZTransform)

Z-преобразования широко используются в теории автоматического регулирования. Поэтому в системе Mathematica 4 для осуществления z-преобразований в ядро включены следующие функции:

  • ZTransform[expr, n, z] – возвращает результат прямого 2-преобразования для выражения ехрr, представленного как функция целочисленного аргумента n;
  • InverseZTransform[expr, n, z] – возвращает результат обратного z-преобразования для выражения ехрr, представленного как функция целочисленного аргумента n.

Приведем примеры выполнения z-преобразований:

ZTransform[Cos[n], n, z]
(1-cos(1)/z)/(1+1/z2-2Cos(1)/z)
  
InverseZTransform[%,s,t]
Cos[n]
  
ZTransform[n^2 a^n, n, z]
[-a(1+a/z)/(-1+a/z)3 z
  
InverseZTransf orm [%, z, n] // Together
ann2

Как и следовало ожидать, прямое, а затем обратное z-преобразование выражения ехрг восстанавливает его в исходном виде. В системе Mathematica 3 эти функции становятся доступными после исполнения команды "DiscreteMath' ZTransform" поскольку они входят не в ядро, а в пакет расширения дискретной математики.

Что нового мы узнали

В этом уроке мы научились:

  • Вычислять суммы в аналитическом и численном видах.
  • Вычислять произведения в аналитическом и численном видах.
  • Вычислять производные.
  • Вычислять интегралы в символьном и численном видах.
  • Вычислять пределы функций.
  • Решать в аналитическом и численном видах уравнения и системы уравнений.
  • Осуществлять графическую иллюстрацию решения уравнений.
  • Решать дифференциальные уравнения в символьном и численном видах.
  • Искать максимальное и минимальное числа в списке.
  • Искать локальный максимум и минимум аналитической функции.
  • Решать задачи линейного программирования.
  • Выполнять преобразования Лапласа и z-преобразования.
Если Вы заметили ошибку, выделите, пожалуйста, необходимый текст и нажмите CTRL + Enter, чтобы сообщить об этом редактору.