Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 3/4

Функции Бесселя

Функции Бесселя, являющиеся решениями линейных дифференциальных уравнений вида z2 y" + zy'+ (z2 – n2)у = 0, широко используются в анализе и моделировании волновых процессов. В системе Mathematica к этому классу относятся следующие функции:

  • Bessell[n, z] – модифицированная функция Бесселя первого рода I(n, z);
  • BesselJ[n, z] – функция Бесселя первого рода J(и, z);
  • BesselK[n, z] – модифицированная функция Бесселя второго рода К(п, z);
  • BesselY[n, z] – функция Бесселя второго рода Y(n, z).

Соотношения между этими функциями хорошо известны. Следующие примеры показывают вычисление функций Бесселя.

Ввод (In) Вывод (Out)
Bessell[0,l.] 1.26607
Bessell[3,l.] 0.0221684
Bessell[l,2.+3.*I] -1.26098 + 0.780149 I
Bessell[2.2.+3.*I] 1.25767 + 2.31877 I
BesselK[2.2.+3.*I] -0.0915555 + 0.0798916 I
BesselY[2.2.+3.*I] -2.3443 + 1.27581 I
BesselY[2.2.+3.*I]  
N[BesselJ[l,0.5]] 0.242268
N[BesselJ[l, 2+1*3]] 3.78068-0.812781 I

Приведем также пример на вычисление производной от функции Бесселя:

D[BesselJ[1, x], (x, 2)]
1 / 2(-BesselJ[1, x] + 1 / 2(-BesselJ[1, x] + BesselJ[3, x]))

Нетрудно заметить, что результат в данном случае также представлен через функции Бесселя.

В другом примере – вычислении интеграла от функции Бесселя – результат выражается через гипергеометрическую функцию:

Integrate[BesselJ[2, x], x]
1 / 24 x3 HypergeometricPFQ[{2 / 3}, {5 / 2.3}, -x2 / 4]

На рис. 6.7 показаны графики функций Бесселя Bessell и BesselJ первых четырех порядков.

Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 3/4 › Специальные математические функции › Функции Бесселя
Рис. 6.7. Графики функций Бесселя Bessell (сверху) и Bessell (снизу) первых четырех порядков

Графики других функций Бесселя вы можете получить самостоятельно. Они представляют меньший интерес, чем графики, приведенные на рис. 6.7.

Если Вы заметили ошибку, выделите, пожалуйста, необходимый текст и нажмите CTRL + Enter, чтобы сообщить об этом редактору.