Численное дифференцирование
Очень часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда при численном решении той или иной задачи необходимо вычислить производную или решить дифференциальное уравнение – в численном виде, разумеется. В этих случаях используется все та же процедура dsolvef), что уже встречалась ранее при решении дифференциальных уравнений в аналитическом виде. Однако для нахождения численного решения (или производной в численном виде) при вызове процедуры следует указать опцию numeric. Во всем остальном синтаксис вызова процедуры практически такой же, как и при поиске аналитических решений, но некоторые отличия все же имеются.
Процедура может использоваться, как уже отмечалось, для вычисления производных, а также решения задач Коши и краевых задач. По умолчанию при решении задач Коши применяется метод Рунге-Кутта-Фэлберга (Runge-Kutta-Fehlbeig) порядка четыре-пять, а при решении краевых задач – экстраполяция Ричардсона (Richardson). Метод может быть изменен явным указанием значения опции method. Возможные значения опции и их описание приведены в табл. 7.4.
Таблица 7.4. Значения опции method.
| Значение опции | Описание |
|---|---|
| bvp | Используется при решении краевых задач. Тип задачи (то ли это задача Коши, то ли краевая задача) вычислительным ядром Maple определяется автоматически. Поэтому значение для опции указывается в таком формате: method=bvp[метод]. В качестве значений могут указываться значения: trapdefer (метод трапеций), middefег (метод средней точки), traprich (усовершенствованная схема для метода трапеций) или midrich (усовершенствованная схема для метода средней точки). По умолчанию используется метод traprich |
| classical | Классический метод построения численного решения. Допускается два типа определения значения: method=classical или method-classical [метод]. Здесь метод может быть таким: foreuler (прямой метод Эйлера; используется по умолчанию), heun-form (усовершенствованный метод Эйлера, или правило трапеций), impoly (модифицированный метод Эйлера), rk2 (классический метод Рунге-Кутта второго порядка), rk3 (классический метод Рунге-Кутта третьего порядка), rk4 (классический метод Рунге-Кута четвертого порядка), adambash (метод Адамса-Бэшфорда (Adams-Bashford), или метод предиктора) или abmoulton (метод Адамса-Бэшфорда-Молтона (Adams-Bashford-Moulton), или метод предиктора-корректора) |
| dverk78 | Метод Рунге-Кутта порядка семь-восемь |
| gear | Метод простой экстраполяции. Метод можно конкретизировать, указав method=gear[bstoer] или method=gear[polyextr]. В первом случае используется рациональная экстраполяция, во втором – полиномиальная |
| lsode | Опция активизации утилиты решения жестких дифференциальных задач. Допускается восемь встроенных методов, среди которых вызываемый по умолчанию метод Адамса с использованием функциональных итераций без вычисления функционального определителя (adamsfunc), метод Адамса с использованием итераций и вычислением полного функционального определителя (adamsfull), метод Адамса с использованием итераций и вычислением диагонального функционального определителя (adamsdiag), метод Адамса с вычислением ленточного функционального определителя (adamsband), метод обратного дифференцирования с использованием функциональных итераций (backf unc), метод обратного дифференцирования с использованием итераций и вычислением полного функционального определителя (backf ull), метод обратного дифференцирования с использованием итераций и вычислением диагонального функционального определителя (backdiag) и метод обратного дифференцирования с использованием итераций и вычислением ленточного функционального определителя (backhand). При использовании методов adamsband и backhand необходимо также задавать параметры функциональной матрицы |
| rkf45 | Метод Рунге-Кутта-Фэлберга порядка четыре-пять |
| rosenbrock | Метод Рунге-Кутта-Розенброка (Rosenbrock) порядка три-четыре |
| taylorseries | Решение ищется в виде разложения в ряд Тейлора |
Кроме опции method, могут быть задействованы и другие опции. Они приведены в табл. 7.5.