Иллюстрированный самоучитель по SPSS 10/11

Нелинейная регрессия

Многие связи по своей природе, то есть в реальной жизни, либо являются строго линейными, либо их можно привести к линейному виду. Один пример линейной связи из области медицины был приведен в главе 16.1; еще одним, уже знакомым нам примером является линейная связь между весом и ростом. При условии наличия лопаточного количества респондентов, на основании измеренных пар значений можно вывести уравнение регрессионной прямой, к которой более или менее приближается количество точек, соответствующие парам значений.

Существуют также линейные связи, следующие непосредственно из физических закономерностей. Так путь s, пройденный, при постоянной скорости с за промежуток времени: рассчитывается по формуле:

s = c * t

Стало быть, путь является линейной функцией времени. А если мы рассмотрим закон свободного падения, то в этом случае расстояние s. которое проходили падающее тело увеличивается пропорционально квадрату времени:

Иллюстрированный самоучитель по SPSS 10/11 › Регрессионный анализ › Нелинейная регрессия

Где g – ускорение свободного падения.

Если Вы захотите проверить это экспериментально, то Вам надлежит сделать серию опытов, в которых будет необходимо бросать некоторый предмет, например, камень, с различной высоты (лучше всего, конечно же, в разряженном, безвоздушном пространстве) и засекать время падения. Предположим, у Вас получились следующие результаты:

s (см) t (сек)
5 1.0
9 1.4
16 1.8
26 2.3
40 2.8
65 3.6
98 4.5

Хотя связь между 5 и с и не является линейной, ее можно перевести в линейную модель, если взять квадратный корень из обоих сторон закона свободного падения:

Иллюстрированный самоучитель по SPSS 10/11 › Регрессионный анализ › Нелинейная регрессия

С помощью преобразования данных, мы разрешаем компьютеру создать новую переменную, содержащую значения квадратного корня из величины s и рассматривать ее как зависимую переменную, а время / как независимую переменную. Рассчитаем коэффициент регрессии b так, как это было изложено в разделе 16.1.

Используя этот коэффициент, можно теперь рассчитать искомое ускорение свободного падения:

Иллюстрированный самоучитель по SPSS 10/11 › Регрессионный анализ › Нелинейная регрессия

Если Вы выполните эти вычисления, то получите b = 0.2224 и g = 9.88.

При помощи соответствующих трансформаций в линейную модель можно перевести и другие исходно нелинейные связи. К примеру, очень часто встречающуюся экспоненциальную связь у = аеbx можно преобразовать в линейную при помощи вычисления логарифма от обеих сторон уравнения:

ln(y) = ln(a) + bx

То есть в данном случае до проведения линейного регрессионного анализа необходимо прологарифмировать независимые переменные.

Связи, которые при помощи соответствующих трансформаций могут быть переведены в линейную связь, называются линейными по существу (Intrinsically Linear Model). Возможность перевода в линейную модель нужно использовать всегда, так как в этом случае параметры регрессии вычисляются непосредственно, а не определяются с помощью итераций.

Если Вы заметили ошибку, выделите, пожалуйста, необходимый текст и нажмите CTRL + Enter, чтобы сообщить об этом редактору.