Применение преобразований Лапласа для аналитического решения дифференциальных уравнений
Итак, если результаты символьных вычислений включают функции, не содержащиеся во входном языке системы, они помещаются в буфер обмена по запросу системы и могут быть вызваны оттуда командой Paste (Вставить). Тогда результаты имеют статус текстовых комментариев, т. е. в явном виде с ними дальнейшие действия проводить невозможно.
Однако это совсем не означает бесполезности таких результатов. Напротив, пользователь, владеющий приемами аналитических вычислений, может успешно использовать такие результаты для решения серьезных математических задач. Здесь мы остановимся на задаче получения аналитического решения для линейных дифференциальных уравнений. Сразу отметим, что системы компьютерной алгебры Mathematica 2.2.2 или Maple V R3/R4 легко решают подобные задачи встроенными средствами. Рассмотрим, как это можно сделать в системе MathCAD 6.0 PRO, таких средств не имеющей.
Для получения решения можно воспользоваться преобразованиями Лапласа. Это иллюстрирует рис. 8.22, на котором подробно показан процесс получения результата. Приходится вручную запускать прямое преобразование. Лапласа, по его результатам составлять алгебраическое уравнение и после решения запускать обратное преобразование Лапласа – оно дает решение в виде временной зависимости.
Рис. 8.22. Пример решения дифференциального уравнения второго порядка с применением преобразований Лапласа
На рис. 8.23 приведено решение другого дифференциального уравнения. Используется тот же метод решения, что и в предыдущем примере.
Оба примера наглядно показывают, что помещаемый в буфер обмена результат символьных операций может быть очень полезным и порой предоставлять возможности, которые нельзя получить прямым образом. Это расширяет области применения системы MathCAD.
Рис. 8.23. Пример решения другого дифференциального уравнения