Иллюстрированный самоучитель по MatLab

Преобразование разреженных матриц

Теперь рассмотрим функции преобразования разреженных матриц. Они представлены ниже:

• k = f ind(X) – возвращает индексы вектора х для его ненулевых элементов. Если таких элементов нет, то find возвращает пустой вектор .find(X>100) возвращает индексы элементов вектора с Х>100;
• [1,j] = find(X) – возвращает индексы строки и столбца для ненулевого элемента матрицы X;
• [1 .j .v] = find(X) – возвращает вектор столбец v ненулевых элементов матрицы X и индексы строки i и столбца j. Вместо X можно вставить (X, операция отношения, параметр), и тогда индексы и вектор-столбец будут отражать элементы матрицы, удовлетворяющие данному отношение. Единственное исключение – find(x ~= 0). Индексы те же, что и при исполнении find(X), но вектор v содержит только единицы.

Пример:

• full(S) – преобразует разреженную матрицу S в полную; если исходная матрица S была полной, то full (S) возвращает S. Пусть X – матрица размера mxn с nz=nnz(X) ненулевыми элементами. Тогда full(X) требует такой объем памяти, чтобы хранить mxn действительных чисел, в то время как sparse(X) требует пространство для хранения лишь nz действительных чисел и (nxz+n) целых чисел – индексов. Большинству компьютеров для хранения действительного числа требуется вдвое больше пространства, чем для целого. Для таких компьютеров sparse(X) требует меньше пространства, чем full(X), если плотность nnz/prod(s1ze(X))<2/3. Выполнение операций над разреженными матрицами, однако, требует больше затрат времени, чем над полными, поэтому для эффективной работы с разреженными матрицами плотность расположения ненулевых элементов должна быть много меньше 2/3.

Примеры:

• S=sparse(A) – преобразует полную матрицу в разреженную, удаляя нулевые элементы. Если матрица S уже разреженная, то sparse(S) возвращает S. Функция sparse – это встроенная функция, которая формирует матрицы в соответствии с правилами записи разреженных матриц, принятыми в системе MATLAB;
• S=sparse(i,j,s,m,n,nzmax) – использует векторы 1, j и s для того, чтобы генерировать разреженную матрицу размера mxn с ненулевыми элементами, количество которых не превышает nzmax. Векторы 1 и j задают позиции элементов и являются целочисленными, а вектор s определяет числовое значение элемента матрицы, которое может быть действительным или комплексным. Все элементы вектора s, равные нулю, игнорируются вместе с соответствующими значениями i и j. Векторы i, j и s должны быть одной и той же длины;
• S = sparsed' .j.s.m.n) – использует nzmax=length(s).
• S = sparsed, j.s) – использует m=maxd) и n=max(j). Максимумы вычисляются раньше, чем нулевые строки столбца S будут удалены;
• S = sparse(m.n) равносильно sparse ([ ].[ ].[ ] .m.n, 0). Эта команда генерирует предельную разреженную матрицу, где mxn элементов нулевые.

Все встроенные в MATLAB арифметические, логические и индексные операции могут быть применены и к – разреженным, и к полным матрицам. Операции над разреженными матрицами возвращают разреженные матрицы, а операции над полными матрицами возвращают полные матрицы. В большинстве случаев операции над смешанными матрицами возвращают полные матрицы. Исключение составляют случаи, когда результат смешанной операции явно сохраняет разреженный тип. Так бывает при поэлементном умножении массивов А.*S, где S – разреженный массив.

Пример:

Функция spconvert используется для создания разреженных матриц из простых разреженных форматов, легко производимых вне средств MATLAB:

• S = spconvert(D) – преобразует матрицу D со строками, содержащими [i.j.r] или [i,j,r.s], где i – индекс ряда, j – индекс строки, г – численное значение, в соответствующую разреженную матрицу. Матрица D может иметь nnz или nnz+1 строк и три или четыре столбца. Три элемента в строке генерируют действительную матрицу, четыре элемента в строке генерируют комплексную матрицу (s преобразуется во мнимую часть значения элемента). Последняя строка массива D типа [m n 0] или [m n 0 0] может быть использована для определения size(S). Команда spconvert может быть использована только после того, как матрица D загружена или из МАТ-файла, или из ASCII-файла при помощи команд load, uiload и т. д.: