Иллюстрированный самоучитель по MatLab

Элементарные разреженные матрицы

Матрицы без нулевых значений называются полными матрицами. Матрицы, содержащие некоторое число элементов с нулевыми значениями, в MATLAB называются разреженными матрицами. Вообще говоря, разреженными называют те матрицы, для которых разумно использовать численные методы, учитывающие упрощение арифметических операций с нулевыми элементами (например, получение нуля при умножении на нуль или пропуск операций сложения и вычитания при использовании этих операций с нулевыми элементами матриц). Они широко используются при решении прикладных задач. Например, моделирование электронных и электротехнических линейных цепей часто приводит к появлению в матричном описании топологии схем сильно разреженных матриц. Для таких матриц создан ряд функций, обеспечивающих эффективную работу с ними и устраняющих тривиальные операции с нулевыми элементами матриц.

Вначале рассмотрим элементарные разреженные матрицы и относящиеся к ним функции системы MATLAB.

Функция spdiags расширяет возможности встроенной функции diag. Возможны четыре операции, различающиеся числом входных аргументов:

• [B.d] = spdiags(A) – извлекает все ненулевые диагонали из матрицы А размера mxn. В – матрица размера min(m,n)xp, столбцы которой р являются ненулевыми диагоналями A .d – вектор длины р, целочисленные элементы которого точно определяют номера диагоналей матрицы А (положительные номера – выше главной диагонали, отрицательные – ниже);
• В = spdiags(A.d) – извлекает диагонали, определенные вектором d;
• А = spdiags(B,d,A) – заменяет столбцами матрицы В диагонали матрицы А, определенные вектором d;
• А = spdiags(B,d,m,n) – создает разреженную матрицу размера mxn, размещая соответствующие столбцы матрицы В вдоль диагоналей, определяемых вектором d.

Пример:

• S = speye(m.n) – возвращает разреженную матрицу размера mxn с единицами на главной диагонали и нулевыми недиагональными элементами;
• S = speye(n) – равносильна speye(n.n). Пример:

Матрица R = sprand(S) имеет ту же структуру, что и разреженная матрица S, но ее элементы распределены по равномерному закону:

• R = sprand(m,n,density) – возвращает случайную разреженную матрицу размера mxn, которая имеет приблизительно densityxmxn равномерно распределенных ненулевых элементов (0<density<l);
• R = sprand(m,n,density,re) – в дополнение к этому имеет в числе параметров число обусловленности по отношению к операции обращения, приблизительно равное rс. Если вектор гс имеет длину lr (A,r<min(m.n)), то матрица R имеет гс в качестве своих первых 1 r сингулярных чисел, все другие значения равны нулю. В этом случае матрица R генерируется с помощью матриц случайных плоских вращений, которые применяются к диагональной матрице с заданными сингулярными числами. Такие матрицы играют важную роль при анализе алгебраических и топологических структур.

Пример:

• R = sprandn(S) – возвращает матрицу со структурой разреженной матрицы S, но с элементами, распределенными по нормальному закону с нулевым средним и дисперсией, равной 1;
• R = sprandn(m,n,density) – возвращает случайную разреженную матрицу размера mxn, имеющую примерно densityxmxn нормально распределенных ненулевых элементов (0<density<l);
• R = sprandnCm,n.density,гс) – в дополнение к этому имеет своим параметром число обусловленности по отношению к операции обращения, приблизительно равное rс. Если вектор гс имеет длину 1r (Xr<min(m,n)), то матрица R имеет гс в качестве своих первых 1r сингулярных чисел, все другие значения равны нулю. В этом случае матрица R генерируется с помощью матриц случайных плоских вращений, которые применяются к диагональной матрице с заданными сингулярными числами.

Пример:

• sprandsym(S) – возвращает случайную симметрическую матрицу, нижние под-диагонали и главная диагональ которой имеют ту же структуру, что и матрица 5. Элементы результирующей матрицы распределены по нормальному закону со средним, равным 0, и дисперсией, равной 1;
• sprandsym(n,density) – возвращает симметрическую случайную разреженную матрицу размера пхп, которая имеет приблизительно densityxnxn ненулевых элементов; каждый элемент сформирован в виде суммы нормально распределенных случайных чисел (0<density<l);
• R = sprandsym(n,density,гс) – возвращает матрицу с числом обусловленности по отношению к операции обращения, равным гс. Закон распределения не является равномерным; значения случайных элементов симметричны относительно 0 и находятся в пределах [-1, 1]. Если rс – вектор размера п, то матрица R имеет собственные значения, равные элементам вектора rс. Таким образом, если элементы вектора гс положительны, то матрица R является положительно определенной. В любом случае матрица R генерируется с помощью случайного вращения по Якоби диагональных матриц с заданными собственными значениями и числом обусловленности. Такие матрицы играют важную роль при анализе алгебраических и топологических структур;
• R = sprandsym(n.density.rc.klnd) – возвращает положительно определенную матрицу. Аргумент kind может быть следующим:
  • kind=1 – матрица R генерируется из положительно определенной диагональной матрицы с помощью случайных вращений Якоби. R имеет точно заданное число обусловленности;
  • kind=2 – матрица R генерируется как смещенная сумма матриц внешних произведений. Число обусловленности матрицы приблизительно, но структура более компактна (по сравнению с предыдущим случаем);
  • kind=3 – генерируется матрица R той же структуры, что и S, а число обусловленности приближенно равно 1/гс. Значение density игнорируется.

Пример: