Иллюстрированный самоучитель по MatLab

LU- и QR-разложения

Так называемые LU- и QR-разложения реализуются следующими матричными функциями:

Функция lu выражает любую квадратную матрицу X как произведение двух треугольных матриц, одна из которых (возможно, с перестановками) – нижняя треугольная матрица, а другая – верхняя треугольная матрица [В MATLAB 6 аргументом (входным аргументом) функции lu может быть и полная прямоугольная матрица. – Примеч. ред.]. Иногда эту операцию называют LR-разложением. Для выполнения этой операции служит следующая функция:

• [L,U] = lu(X) – возвращает верхнюю треугольную матрицу U и психологическую нижнюю матрицу L (т. е. произведение нижней треугольной матрицы и матрицы перестановок), так что X=L*U;
• [L,U,P.] = lu(X) – возвращает верхнюю треугольную матрицу U, нижнюю треугольную матрицу L и сопряженную (эрмитову) матрицу матрицы перестановок Р, так что L*U =Р*Х;
• lu(Х) – вызванная с одним выходным параметром функция возвращает результат из подпрограмм DGETRF (для действительных матриц) или ZGETRF (для комплексных) известного пакета программ линейной алгебры LAPACK.
• lu(X, thresh) – где thresh в диапазоне [0…1] управляет центрированием в разреженных матрицах (см. урок 12). Отдельная форма предыдущего случая. Центрирование происходит, если элемент столбца на диагонали меньше, чем произведение thresh и любого поддиагонального элемента. Thresh=1 – значение по умолчанию. Thresh=0 задает центрирование по диагонали. Если матрица полная (не разреженная), выводится сообщение об ошибке.

Функция qr выполняет QR-разложение матрицы. Эта операция полезна для квадратных и треугольных матриц. Она выполняет QR-разложение, вычисляя произведение унитарной [Квадратная матрица с комплексными элементами, обладающая тем свойством, что обратная матрица ее комплексно сопряженной матрицы равна транспонированной, т. е. (А*)''-А'. – Примеч. ред. ] матрицы и верхней треугольной матрицы. Функция используется в следующих формах: [ Квадратная матрица с комплексными элементами, обладающая тем свойством, что обратная матрица ее комплексно сопряженной матрицы равна транспонированной, т. е. (А*)''-А'. – Примеч. ред.]

• [Q.R] = qr(X) – вычисляет верхнюю треугольную матрицу R того же размера, как и у X, и унитарную матрицу Q, так что X=Q*R;
• [Q.R.E] = qr(X) – вычисляет матрицу перестановок Е, верхнюю треугольную матрицу R с убывающими по модулю диагональными элементами и унитарную матрицу Q, так что X*E=Q*R. Матрица перестановок Е выбрана так, что abs(diag(R)) уменьшается;
• [Q.R] = qr(X.O) и [Q.R.E] = qr(X,0) – вычисляют экономное разложение, в котором Е – вектор перестановок, так что Q*R=X(:,Е). Матрица Е выбрана так, что abs(diag(R)) уменьшается;
• А = qr(X) – возвращает результат из LAPACK. Пример:

• [Q,R] = qrdelete(Q,R, j) – изменяет Q и RTaKHM образом, чтобы пересчитать QR-разложение матрицы А для случая, когда в ней удален j-й столбец (А(:, j)=[ ]). Входные значения Q и R представляют QR-разложение матрицы А как результат действия [Q. R]=qr(A)..Аргумент j определяет столбец, который должен быть удален из матрицы А.

Примеры:

• [Q.R] = qrinsert(Q,R,j,x) – изменяет Q и R таким образом, чтобы пересчитать разложение матрицы А для случая, когда в матрице А перед j-м столбцом вставлен столбец х. Входные значения Q и R представляют QR-разложение матрицы А как результат действия [Q,R]=qr(A). Аргумент х – вектор-столбец, который нужно вставить в матрицу А. Аргумент j определяет столбец, перед которым будет вставлен вектор х.

Примеры: