Иллюстрированный самоучитель по MatLab

Матричные операции линейной алгебры

• Вычисление нормы и чисел обусловленности матрицы

  Линейная алгебра – область, в которой наиболее часто используются векторы и матрицы. Наряду с операциями общего характера, рассмотренными выше, применяются функции, решающие наиболее характерные задачи линейной алгебры. Они и рассмотрены в данном уроке.

• Определитель и ранг матрицы. Определение нормы вектора.

  Для нахождения определителя (детерминанта) и ранга матриц в MATLAB имеются следующие функции: | det(X) – возвращает определитель квадратной матрицы X. Если X содержит только целые элементы, то результат – тоже целое число.

• Определение ортонормированного базиса матрицы

  Вычисление ортонормированного базиса матрицы обеспечивают нижеприведенные функции: | В = orth(A) – возвращает ортонормированный базис матрицы А. Столбцы В определяют то же пространство, что и столбцы матрицы А, но столбцы В ортогональны, то есть B*B=eye(rank(A)).

• Функции приведения матрицы к треугольной форме

  Треугольной называется квадратная матрица А, если при I>k (верхняя треугольная матрица) или при к>I(нижняя треугольная матрица) элементы матрицы A(l,k) равны нулю. В строго треугольной матрице нули находятся и на главной диагонали.

• Определение угла между двумя подпространствами

  Угол между двумя подпространствами вычисляет функция subsрасе: | theta = subspace(A.B) – возвращает угол между двумя подпространствами, натянутыми на столбцы матриц А и В. Если А и В – векторы-столбцы единичной длины, то угол вычисляется по формуле acos(A'*B).

• Разложение Холецкого

  Разложение Холецкого – известный прием матричных вычислений. Функция chol находит это разложение для действительных и комплексных эрмитовых матриц. | R = chol(X) – для квадратной матрицы [Положительно определенной называется действительная симметрическая матрица, все собственные значения которой положительны.

• Обращение матриц. Функции inv, pinv.

  Обращение матриц – одна из наиболее распространенных операций матричного анализа. Обратной называют матрицу, получаемую в результате деления единичной матрицы Е на исходную матрицу X. Таким образом, Х^-1=Е/Х. Следующие функции обеспечивают реализацию данной операции:

• LU- и QR-разложения

  Так называемые LU- и QR-разложения реализуются следующими матричными функциями: | Функция lu выражает любую квадратную матрицу X как произведение двух треугольных матриц, одна из которых (возможно, с перестановками) – нижняя треугольная матрица, а другая – верхняя треугольная матрица [В MATLAB 6 аргументом (входным аргументом) функции lu может быть и полная прямоугольная матрица. – Примеч. ред.].

• Вычисление собственных значений и сингулярных чисел

  Во многих областях математики и прикладных наук большое значение имеют средства для вычисления собственных значений (собственных чисел, характеристических чисел, решений векового уравнения) матриц, принадлежащих им векторов и сингулярных чисел.

• Приведение матриц к форме Шура и Хессенберга

  Ниже приводятся функции, обеспечивающие приведение матриц к специальным формам Шура и Хессенберга: | cdf2rdf – преобразование комплексной формы Шура в действительную.