Иллюстрированный самоучитель по MatLab

Матричные функции

Весьма представителен в MATLAB набор матричных функций. Они перечислены ниже.

• ехрт(Х) – возвращает е^х от матрицы X. Комплексный результат получается, если X имеет неположительные собственные значения. Функция expm является встроенной и использует разложение Паде. Ее вариант в виде m-файла располагается в файле expm1.m. Второй метод вычисления матричной экспоненты использует разложение Тейлора и находится в файле expm2.m. Метод Тейлора не рекомендуется применять как основной, так как он зачастую бывает относительно медленным и неточным. Реализация третьего способа вычисления матричной экспоненты находится в файле ехртЗ.m и использует спектральное разложение матрицы А. Этот метод неудачен, если входная матрица не имеет полного набора линейно независимых собственных векторов.

Пример:

• funm(X, @function) [Форма funm(X,@function), как в предыдущих версиях MATLAB, по-прежнему возможна, но не рекомендуется.– Примеч. ред.] – возвращает любую функцию от квадратной матрицы X, если правильно ввести имя, составленное из латинских букв. Команды funm(X,@exp), funm(X,@sqrt), funm(X.@log) Hexpm(X),sqrtm(x),logm(X) вычисляют соответственно одинаковые функции, но используют разные алгоритмы. Однако предпочтительнее использовать ехрт(Х), sqrtm(x).logm(X);
• [Y.esterr] = funm(X.@function) – не выдает никакого сообщения, но помимо результата вычислений в матрице Y возвращает грубую оценку относительной погрешности результата вычислений funm в esterr. Если матрица X – действительная симметрическая или комплексная эрмитова, то ее форма Шура диагональна и полученный результат может иметь высокую точность.

Примеры:

• logm(X) – возвращает логарифм матрицы. Результат получается комплексным, если X имеет отрицательные собственные значения;
• [Y.esterr]=logm(X) – не выдает какого-либо предупреждающего сообщения, но возвращает оценку погрешности в виде относительной невязки norm(expm(Y)-X)/norm(X);

Если матрица X – действительная симметрическая или комплексная эрмитова, то теми же свойствами обладает и logm(X).

Пример:

• sqrtm(X) – возвращает квадратный корень из X, соответствующий неотрицательным действительным частям собственных значений X. Результат получается комплексным, если X имеет отрицательные собственные значения. Если X вырожденная, то выдает предупреждение об ошибке;
• [Y.resnonii]=sqrtm(X) – не выдает какого-либо предупреждающего сообщения, но возвращает оценку погрешности в виде относительной невязки по нормам Фробениуса (см. урок 11) norm(X-Y^{^} 2, ' fro') /norm(X, ' fro');
• [Y .alpha, condest]=sqrtm(X) – с тремя выходными аргументами функция помимо квадратного корня возвращает также фактор стабильности (но не невязку!) и оценку числа обусловленности результирующей матрицы Y.

Пример:

Что нового мы узнали?

В этом уроке мы научились:

• Создавать матрицы различного вида, включая "магическую" матрицу.
• Создавать векторы равноотстоящих точек с разным масштабом.
• Объединять матрицы, используя функцию конкатенации.
• Создавать матрицы с заданной диагональю.
• Выполнять перестановки элементов матриц.
• Вычислять суммы и произведения элементов матриц.
• Осуществлять поворот матриц и выделение их треугольных частей.
• Работать с тестовыми матрицами Адамара, Ганкеля, Гильберта, Паскаля, Теплица и Уилкинсона.
• Работать с различными матричными функциями.