Отличительные особенности Mathematica 4
Улучшение работы с массивами
Кардинально уменьшено и время обращения к памяти при записи и считывании массивов, а заодно существенно повышена плотность упаковки массивов для данных различного типа (за счет применения особой технологии упаковки массивов). Приведенные ниже сведения характеризуют это для версий Mathematica 4 и 3 для ряда типов данных – целых (Integers), вещественных (Reals) и комплексных (Complex Numbers).
| Mathematica 4 | Mathematica 3 | |||
|---|---|---|---|---|
| Тип данных | Время, с | Объем памяти | Время, с | Объем памяти |
| Integers | 0.24 | 400 056 | 0.43 | 2 000 024 |
| Reals | 0.231 | 800 056 | 0.611 | 2 000 024 |
| Complex Numbers | 0.35 | 1 600 056 | 1.341 | 6 000 024 |
Уплотнение массивов означает, что Mathematica 4 при заданном объеме свободной памяти может решать более объемные и серьезные задачи, чем это смогла бы сделать предшествующая версия системы.
Указанные достоинства системы Mathematica 4 достигнуты за счет выбора и тщательной оптимизации алгоритмов численных вычислений:
- введена прямая поддержка следов матриц;
- изменены алгоритмы нахождения минимума (функция FindMinimum);
- реализован ускоренный вывод больших чисел – вплоть до миллионов цифр;
- введена новая технология упаковки больших массивов чисел;
- существенно уменьшена необходимость в повторных циклах;
- обеспечена абсолютная точность при целочисленных вычислениях;
- гарантирована заданная погрешность при вычислениях с вещественными числами;
- улучшено размещение переменных в памяти.
По умолчанию погрешность вычислений при целочисленных операциях в системе Mathematica 4 определена в 1 000 000 верных цифр. К примеру, чтобы выдать число n с миллионом верных знаков, системе Mathematica 4 понадобится чуть больше двух минут (разумеется, на современном компьютере)! В некоторых видах сложных целочисленных вычислений, используемых в технике кодирования информации, Mathematica 4 обеспечивает беспрецедентно малое время вычислений.
Улучшенные математические возможности
Математические возможности системы Mathematica 4 существенно пополнены и улучшены. В частности, обеспечены следующие возможности:
- прямая поддержка линейной алгебры разреженных матриц;
- экспериментальная поддержка кванторного исключения с использованием цилиндрического алгебраического разложения;
- экспериментальная поддержка символьной оптимизации;
- быстрая свертка и корреляция для массивов любого размера и размерности;
- новые улучшенные алгоритмы для преобразований Фурье (рис. 1.23);
- ускоренное вычисление полиномиальных уравнений;
- новые алгоритмы для функции минимизации FindMinimum;
- расширение возможностей матричных преобразований;
- алгебраическая вычислительная поддержка для функций символьных преобразований Simplify, FunctionExpand и связанных с ними других функций;
- расширение возможностей функций преобразования FullSimplify и FunctionExpand;
- упрощение полиномиальных и других неравенств;
- полная улучшенная поддержка символьных преобразований Лапласа и Фурье;
- расширенные возможности решения трансцендентных уравнений;
- ускоренное неоднократное дифференцирование;
- поддержка ряда новых специальных функций (Дирака, Струве, обобщенных логарифмов, двумерных гипергеометрических функций Аппеля, полилогарифмов Ньелсена, гармонических функций, различных констант и т. д.);
- новые оптимизированные методы для оценивания е, nи других констант с очень высокой точностью;
- полная поддержка для непрерывных дробей и периодических цифровых последовательностей;
- прямая поддержка поразрядных операций.