Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 3/4

Операции математического анализа

• Вычисление сумм. Вычисление сумм в аналитическом виде.

  В этом уроке описаны основные операции математического анализа, детали которых можно найти в любом справочнике по высшей математике. Эти операции чаще всего используются при проведении математических и научно-технических расчетов и потому описаны достаточно полно.

• Вычисление сумм в численном виде

  Для вычисления сумм в численном виде используются следующие функции: | NSum[f, {i, imin, imax }]– возвращает численное значение суммы f [ i ] при i, изменяющемся от imin до imax с шагом +1; | NSumff, {i, imin, imax, di }]– возвращает сумму численных значений функции f [i] при i, изменяющемся от imin до imax с шагом di;

• Вычисление произведений. Вычисление произведений в аналитическом виде.

  Рассмотрим операции вычисления произведений. Произведение от i=imin до i=imax по fi представлены следующими функциями: | Product [f, {i, imax}] – возвращает произведения значений f [i] для значений i, изменяющихся от 1 до imax;

• Вычисление произведений в численном виде

  Для вычисления численных значений произведения используются следующие функции: | NProduct [f, {i, imax }]– возвращает численное значение произведения значений f [i] для значений i, изменяющихся от 1 до imax;

• Вычисление производных

  К числу наиболее часто используемых математических операций принадлежит вычисление производных функций как в аналитической, так и в символьной форме. Для этого используются следующие функции: | D [ f, х ] – возвращает частную производную функции f по переменной х;

• Вычисление интегралов. Вычисление интегралов в символьном виде.

  Одна из важнейших операций – вычисление первообразных и определенных интегралов в символьном виде. Первообразная – это функция F(x), удовлетворяющая уравнению: | f(x)dx = F(x) + C. | Где С – постоянная интегрирования.

• Вычисление определенных интегралов

  Следующая серия примеров (рис. 4.5) иллюстрирует вычисление определенных интегралов в символьном виде. | Рис. 4.5. Примеры вычисления определенных интегралов обычного вида | Приведенные на рис. 4.6 примеры показывают вычисление определенных интегралов с пределами-функциями. | Рис. 4.6.

• Вычисление кратных интегралов

  Mathematica способна вычислять даже кратные интегралы с фиксированными и переменными верхним или нижним пределами. Кратный, например двойной, интеграл с фиксированными пределами имеет вид: | f(x,y)dxdy. | На рис. 4.7 представлено вычисление нескольких двойных определенных интегралов. | Рис. 4.7.

• Особые случаи вычисления интегралов

  При вычислении сложных интегралов, например не имеющих представления через элементарные функции, система Mathematica 2 обращалась к своим пакетам расширений в попытке найти решение, которое может быть представлено через специальные математические функции.

• Численное интегрирование

  Для вычисления численных значений определенных интегралов используется функция NIntegrate [f, {x, xmin, xmax}], которая возвращает численное приближение интеграла от функции f по переменной х в пределах от x min до x max .

• Вычисление пределов функций

  Многие функции при приближении аргумента к некоторому значению или к некоторой области значений стремятся к определенному пределу. Так, функция sin(x)/x при х, стремящемся к нулю (обозначим это как х › 0), дает предел 1 в виде устранимой неопределенности 0/0.

• Уравнения и системы уравнений. Решение уравнений.

  Многие математические задачи сводятся к решению в общем случае нелинейных уравнений вида f(x) = 0 или f(x) = expr. | В системе Mathematica они обозначаются как eqns (от слова equations – уравнения). Разумеется, могут решаться и системы, состоящие из ряда таких уравнений.

• Решение систем нелинейных уравнений в символьном виде

  Приведенные на рисунке 4.13 примеры показывают решение систем нелинейных уравнений с помощью функции Solve. | Достаточно характерен пример с применением функции N. Если убрать в нем функцию N, то будет получен чрезвычайно громоздкий, хотя и точный результат (проверьте это сами, поскольку размеры результата делают нецелесообразным его приведение в книге).

• Опции функции Solve

  С функцией Solve можно использовать ряд опций. Их можно вывести командой Options [Solve]. Ниже описано их назначение: | InverseFunctions – указывает, следует ли использовать обратные функции; | MakeRules – указывает, должен ли результат быть представлен как объект AlgebraicRulesData;

• Численное решение уравнений

  Многие нелинейные уравнения и системы нелинейных уравнений в принципе не имеют аналитических решений. Однако их решение вполне возможно численными методами. Для численного решения систем нелинейных уравнений используется функция NSolve:

• Поиск корней уравнений

  Для вычисления корней полиномиальных уравнений используется функция Roots: | Roots[lhs == rhs, var] | На рисунке 4.18 представлены примеры применения функции Roots. | Рис. 4.18. Примеры использования функции Roots | Формат выдачи результатов для функции Roots отличается от такового для функции Solve.

• Дополнительные функции для решения уравнений

  Имеется также ряд дополнительных функций, которые используются описанными ранее функциями и также могут применяться при решении нелинейных уравнений: | Auxiliary [v] – применяется модулем Solve для указания того, что переменная v должна использоваться функцией Roots для результирующих решений, но соответствующие значения v не должны быть включены в окончательный ответ;

• Графическая иллюстрация и выбор метода решения уравнений

  При рассмотрении приведенных выше примеров может сложиться благодушное впечатление о том, что решение нелинейных уравнений может производиться автоматически и без размышлений. Но это далеко не так – представленные выше примеры просто подобраны так, что они имеют решение с помощью соответствующих функций. | На самом деле порой даже простые уравнения могут не иметь решения.

• Получение сразу нескольких корней

  Многие уравнения с тригонометрическими функциями могут иметь периодические или близкие к ним решения. К сожалению, функции Mathematica, вычисляющие корни уравнений, не способны в этом случае дать сразу несколько корней.

• Получение неизвестных в явном виде

  Читатель, возможно, обратил внимание на то, что решения всех представленных выше примеров выглядят не совсем обычно – в виде списка подстановок. Это не позволяет использовать неизвестные в явном виде, например, для проверки решений или передачи найденных неизвестных в последующие вычислительные блоки.

• Дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений в символьном виде.

  Дифференциальными принято называть уравнения, в состав которых входят производные функции у(х), представляющей решение уравнения. Дифференциальные уравнения могут быть представлены в различной форме, например в общеизвестной форме Коши: | y'(x) = eqn = f(x, y) | Несколько дифференциальных уравнений образуют систему дифференциальных уравнений.

• Решение дифференциальных уравнений в численном виде

  Многие дифференциальные уравнения не имеют аналитических решений – например, нелинейные. Однако они могут с приемлемой точностью решаться численными методами. Для численного решения систем дифференциальных уравнений используется функция NDSolve:

• Оптимизационные задачи

  Поиск максимального и минимального чисел в списке | В практике математических прикладных вычислений важная роль принадлежит оптимизационным задачам, например таким, как поиск минимальных и максимальных значений функций одной или нескольких переменных.

• Преобразования Лапласа (LaplaceTransform)

  Преобразования Лапласа (LaplaceTransform) – важный вид интегральных преобразований. Они лежат в основе, например, символического метода расчета электрических цепей. В системе Mathematica 3 функции преобразования размещены в подпакете Laplace-Transform.