Вычисление сумм. Вычисление сумм в аналитическом виде.
В этом уроке описаны основные операции математического анализа, детали которых можно найти в любом справочнике по высшей математике. Эти операции чаще всего используются при проведении математических и научно-технических расчетов и потому описаны достаточно полно.
В числе операций математического анализа прежде всего надо отметить суммы:
Сумма от i = min до imax по fiВ этих операциях индекс i принимает целочисленные значения от минимального (начального) imin до максимального (конечного) imax с шагом, равным +1.
Суммы и произведения легко вычисляются численными математическими системами, такие вычисления просто описываются на всех языках программирования. Однако важным достоинством систем символьной математики, включая Маthematica, является вычисление сумм и произведений в аналитическом виде (если это возможно) и при большом числе членов – вплоть до стремящегося к бесконечности.
Для вычисления сумм в системе Mathematica предусмотрена функция Sum, используемая в ряде форм:
- Sum [ f, {i, imax} ] – вычисляет сумму значений f при изменении индекса i от 1 до imax с шагом +1;
- Sum[f, {i, imin, imax}] – вычисляет сумму значений f при изменении индекса i от минимального значения i=imin до максимального i=imax с шагом +1;
- Sum[f, {i, imin, imax, di}] – вычисляет сумму значений f при изменении управляющей переменной вещественного типа от минимального значения i=imin до максимального i=imax с шагом di;
- Sum[f, {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax},…] – вычисляет многократную сумму значений f при изменении индексов i от imin до imax с шагом +1, j от jmin до jmax с шагом +1 и т. д. (число индексов не ограничено).
Таким образом, эта функция обеспечивает расширенные возможности вычисления сумм – как при целочисленных, так и при вещественных значениях управляющих переменных, задающих циклы вычислений. Примеры использования функций суммирования:
Sum[i ^ 2, {i, 10}] 385Sum[i * 2, {i, 1, 10}] 385Sum[i ^ 2, {1, 1, 2, 0.25}] 11.875Sum[i * j, {i, 1.10}, {j, 2, 5}] 770В последнем примере использована стандартная форма вывода – при ней функция суммирования представляется в виде оператора суммирования.
Обычно в математических системах недопустима перестановка imin и imax, хотя в математике известно школьное правило – от перестановки слагаемых сумма не изменяется. Рискнем проверить это:
Sum[i, {i, 1, 100}] 5050Sum[i, {1, 100, 1}] 0Sum[i, {1, 100, 1, -1}] 5050Второй пример тут дал явно ошибочный результат, хотя третий с честью оправдал указанное правило.
Примечание:
Не применяйте установки параметров, противоречащие синтаксису записи той или иной функции – в частности, Sum. Это чревато возникновением серьезных ошибок.
Приведем еще ряд примеров выполнения операции суммирования:
Sum[xn / n!, {n, 0, 8}] 1 + X + X2 / 2 X3 / 6 X4 / 24 X5 / 120 X6 / 720 X7 / 5040 X8 / 40320Sum[xn / n!, {n, 1, 9, 2}] X + X3 / 3 X5 / 120 X7 / 5040 X9 / 362880Sum[xi yi, {i, 1, 4}, {j, 1, i}] xy + x2 y + x3 y + x4 y + x2: /2 + x3 y2 + x4y2 + x3 y3 + x4 y3 + x4y4 Sum[1/n*n, {n, 1, бесконечность}] n2/6Sum[i4 {i, 1, n}] 1 / 30n(1 - n)(1 + 2n)(-l + 3n + 3n2) 1 / 3(3 - 3 EulerGamma + 2 n + n3) - PolyGamma[0, 2 + n]Из этих примеров видно, что Mathematica 3/4 обеспечивает возможность символьного вычисления сумм, в том числе с бесконечным пределом суммирования. Вычисляются даже суммы, выраженные через специальные математические функции (см. последний пример). При этом для вычисления сумм в символьном виде, в отличие от предшествующих версий Mathematica, уже не требуется загрузка специального пакета для расширенных (символьных) операций с суммами.