Иллюстрированный самоучитель по Mathematica 3/4

Вычисление сумм. Вычисление сумм в аналитическом виде.

В этом уроке описаны основные операции математического анализа, детали которых можно найти в любом справочнике по высшей математике. Эти операции чаще всего используются при проведении математических и научно-технических расчетов и потому описаны достаточно полно.

В числе операций математического анализа прежде всего надо отметить суммы:

В этих операциях индекс i принимает целочисленные значения от минимального (начального) imin до максимального (конечного) imax с шагом, равным +1.

Суммы и произведения легко вычисляются численными математическими системами, такие вычисления просто описываются на всех языках программирования. Однако важным достоинством систем символьной математики, включая Маthematica, является вычисление сумм и произведений в аналитическом виде (если это возможно) и при большом числе членов – вплоть до стремящегося к бесконечности.

Для вычисления сумм в системе Mathematica предусмотрена функция Sum, используемая в ряде форм:

• Sum [ f, {i, imax} ] – вычисляет сумму значений f при изменении индекса i от 1 до imax с шагом +1;
• Sum[f, {i, imin, imax}] – вычисляет сумму значений f при изменении индекса i от минимального значения i=imin до максимального i=imax с шагом +1;
• Sum[f, {i, imin, imax, di}] – вычисляет сумму значений f при изменении управляющей переменной вещественного типа от минимального значения i=imin до максимального i=imax с шагом di;
• Sum[f, {i, imin, imax}, {j, jmin, jmax},…] – вычисляет многократную сумму значений f при изменении индексов i от imin до imax с шагом +1, j от jmin до jmax с шагом +1 и т. д. (число индексов не ограничено).

Таким образом, эта функция обеспечивает расширенные возможности вычисления сумм – как при целочисленных, так и при вещественных значениях управляющих переменных, задающих циклы вычислений. Примеры использования функций суммирования:

В последнем примере использована стандартная форма вывода – при ней функция суммирования представляется в виде оператора суммирования.

Обычно в математических системах недопустима перестановка imin и imax, хотя в математике известно школьное правило – от перестановки слагаемых сумма не изменяется. Рискнем проверить это:

Второй пример тут дал явно ошибочный результат, хотя третий с честью оправдал указанное правило.

Примечание:
Не применяйте установки параметров, противоречащие синтаксису записи той или иной функции – в частности, Sum. Это чревато возникновением серьезных ошибок.

Приведем еще ряд примеров выполнения операции суммирования:

Из этих примеров видно, что Mathematica 3/4 обеспечивает возможность символьного вычисления сумм, в том числе с бесконечным пределом суммирования. Вычисляются даже суммы, выраженные через специальные математические функции (см. последний пример). При этом для вычисления сумм в символьном виде, в отличие от предшествующих версий Mathematica, уже не требуется загрузка специального пакета для расширенных (символьных) операций с суммами.