Преобразования Лапласа (LaplaceTransform)
Преобразования Лапласа (LaplaceTransform) – важный вид интегральных преобразований. Они лежат в основе, например, символического метода расчета электрических цепей. В системе Mathematica 3 функции преобразования размещены в подпакете Laplace-Transform. Но в CKM Mathematica 4 эти функции стали встроенными.
Основными являются следующие функции этого класса:
- LaplaceTransform[expr, t, s] – возвращает результат прямого преобразования Лапласа для выражения expr [t] в виде функции переменной s;
- InverseLaplaceTransform[expr, s,t] – возвращает результат обратного преобразования Лапласа для выражения expr [s] в виде функции переменной t;
- LaplaceTransform [expr, {t1, t2,…}, {s1i, s2,…} ] – возвращает результат прямого преобразования Лапласа для выражения expr [ t1, t2,… ] в виде функции переменных {s1, s2,…};
- InverseLaplaceTransform [expr, {s1, s2,…}, {t1, t2,…} ] – возвращает результат обратного преобразования Лапласа для выражения expr [s1, s2,…] в виде функции переменных {t1, е2,…}.
Хотя имена переменных t и s можно выбирать произвольно, обычно t означает время, as – оператор Лапласа. Ниже представлено несколько примеров выполнения преобразования Лапласа:
<<Calculus'LaplaceTransfornT' LaplaceTransform[Exp[-t]*Sin[t], t, s] 1+1 / (1 + s)2 InverseLaplaceTransform[%, s, t] E-tSin[t] LaplaceTransform[t^2 Exp[-x], {t,x}, {s,v}] 2 / s3(1 + v)Функции z-преобразований (ZTransform)
Z-преобразования широко используются в теории автоматического регулирования. Поэтому в системе Mathematica 4 для осуществления z-преобразований в ядро включены следующие функции:
- ZTransform[expr, n, z] – возвращает результат прямого 2-преобразования для выражения ехрr, представленного как функция целочисленного аргумента n;
- InverseZTransform[expr, n, z] – возвращает результат обратного z-преобразования для выражения ехрr, представленного как функция целочисленного аргумента n.
Приведем примеры выполнения z-преобразований:
ZTransform[Cos[n], n, z] (1-cos(1)/z)/(1+1/z2-2Cos(1)/z) InverseZTransform[%,s,t] Cos[n] ZTransform[n^2 a^n, n, z] [-a(1+a/z)/(-1+a/z)3 z InverseZTransf orm [%, z, n] // Together ann2Как и следовало ожидать, прямое, а затем обратное z-преобразование выражения ехрг восстанавливает его в исходном виде. В системе Mathematica 3 эти функции становятся доступными после исполнения команды "DiscreteMath' ZTransform" поскольку они входят не в ядро, а в пакет расширения дискретной математики.
Что нового мы узнали
В этом уроке мы научились:
- Вычислять суммы в аналитическом и численном видах.
- Вычислять произведения в аналитическом и численном видах.
- Вычислять производные.
- Вычислять интегралы в символьном и численном видах.
- Вычислять пределы функций.
- Решать в аналитическом и численном видах уравнения и системы уравнений.
- Осуществлять графическую иллюстрацию решения уравнений.
- Решать дифференциальные уравнения в символьном и численном видах.
- Искать максимальное и минимальное числа в списке.
- Искать локальный максимум и минимум аналитической функции.
- Решать задачи линейного программирования.
- Выполнять преобразования Лапласа и z-преобразования.