Представление и обработка данных
Разложение функций в ряды
Представление и обработка данных – еще один класс математических задач, имеющих явно практическую направленность. В этом уроке мы рассмотрим ряд средств решения этих задач – начиная с общеизвестного разложения аналитических функций в ряды Тейлора и Маклорена и кончая различными видами аппроксимации, интерполяции и регрессии.Преобразования Фурье. Основные понятия о спектральном анализе и синтезе.
Спектральный подход (метод) лежит в основе целых направлений науки и техники. Достаточно отметить, что он плодотворно используется в технике электро – и радиосвязи, где разделение частот модулированных сигналов базируется на различии их спектров.Прямое и обратное преобразования Фурье
Для представления временных зависимостей (сигналов) в виде набора гармоник в общем случае (и в системе Mathematica) используется прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ), а для обратного преобразования спектра во временную зависимость – обратное дискретное преобразование Фурье.Спектральный анализ на основе прямого преобразования Фурье
Итак, прямое преобразование Фурье означает перевод временного представления сигнала в частотное. Другими словами, оно позволяет получить частотный спектр сигнала, представленного отсчетами его временной зависимости. Нередко это является конечной целью спектрального анализа. | На рис.Фильтрация сигналов на основе преобразований Фурье
Преобразование Фурье является теоретической основой фильтрации сложных сигналов. Мы рассмотрим комплексный пример на фильтрацию сигнала, представляющего собой функцию Бесселя первого рода третьего порядка.Функции пакета FourierTransform
Подпакет FourierTransform пакета Calculus в версии Mathematics 3 служит для осуществления расширенных преобразований Фурье. Он вызывается командой: | <<Calculus'FourierTransform' | Ввиду важности этих преобразований в системе Mathematica 4 их функции были размещены уже в ядре системы.Интерполяция, аппроксимация и регрессия
Нередко исходные данные при решении математических задач представлены рядом точек произвольной зависимости вида у(х). Сама по себе эта зависимость может быть неизвестной. Для вычисления промежуточных значений функции используется аппарат интерполяции.Спектральный анализ с линейной интерполяцией сигнала
Как уже отмечалось, одной из проблем точного представления сигналов при гармоническом синтезе является ограничение числа гармоник, связанное с конечностью числа отсчетов сигнала. К примеру, если вещественный сигнал задан 20 отсчетами, то максимальное число гармоник будет всего 10, что недостаточно для хорошего представления большинства реальных сигналов.Учет искажений сигнала
Рисунок 5.20 показывает задание амплитудно-частотной и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик некоего фильтра, ослабляющего высокие частоты и вносящего фазовый сдвиг, пропорциональный частоте сигнала. В нижней части рисунка построены эти характеристики.Моделирование нелинейных цепей с применением интерполяции
Интерполяция может быть очень полезной при решении задач моделирования нелинейных цепей как с обычными (например, электронные лампы и транзисторы), так и с "необычными" активными приборами, например туннельными диодами или лавинными транзисторами.