Прямое и обратное преобразования Фурье
Для представления временных зависимостей (сигналов) в виде набора гармоник в общем случае (и в системе Mathematica) используется прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ), а для обратного преобразования спектра во временную зависимость – обратное дискретное преобразование Фурье. Математические основы этих преобразований хорошо известны и описаны в соответствующей литературе. В Mathematica 4 имеются следующие основные функции для осуществления дискретного преобразования Фурье:
- Fourier [list] – осуществляет дискретное преобразование Фурье для списка list комплексных чисел;
- InverseFourier [list] – осуществляет дискретное обратное преобразование Фурье списка list комплексных чисел.
Параметром list этих функций в общем случае является список, содержащий комплексные числа. Последовательное применение прямого и обратного преобразований Фурье должно приводить к результату, совпадающему с исходными данными (в пределах малой погрешности). Это хорошо подтверждает следующий пример:
DF := Fourier[{1.1.0.0}] DF {1. + 0.I, 0.5 + 0.51, 0. + 0.I, 0.5 - 0.51} IF := InverseFourier[DF] IF {1. + 0.I, 1. + 2.77556 * 10 - 171, 0. + 0.I, 0. - 2.77556 * 10 - 17I}Разумеется, этот пример носит исключительно тестовый характер. Используя множество возможностей работы с комплексными числами, можно решать различные задачи спектрального анализа и синтеза сигналов различной формы.
Применение описанных функций имеет некоторые тонкости. Прежде всего надо отметить, что отсчет элементов векторов начинается не с нуля, а с единицы. Поэтому нулевая гармоника (в электро- и радиотехнике ее называют постоянной составляющей разлагаемой в ряд Фурье зависимости) соответствует индексу 1, первая гармоника – индексу 2 и т. д. Таким образом, имеет место смещение нумерации индексов на единицу.
Согласно теореме отсчетов, именуемой также теоремой Котельникова, если функция имеет N отсчетов, то максимальное число гармоник спектрального разложения равно N/2. Между тем, функция Fourier в системе Mathematica дает все N элементов создаваемого ею вектора. При этом на спектрограмме "лишние" гармоники на деле просто образуют зеркальное отображение реально возможных N/2 гармоник. Именно поэтому двойное (прямое и обратное) преобразование Фурье в системе Mathematica 3/4 почти идеально точно восстанавливает исходный вектор.
Еще одна тонкость связана с необычным представлением нулевых мнимых частей элементов векторов, получаемых в ходе преобразований. Они записываются в виде 0.1. Для их устранения может использоваться функция Chop [V].
Для лучшего понимания особенностей спектрального анализа и синтеза рекомендуется внимательно ознакомиться с формулами преобразований Фурье, которые можно найти в справочной системе, благо эти формулы вполне понятны даже тем, кто не силен в английском языке. В литературе подобные формулы встречаются в нескольких различных видах, что порождает некоторые трудности в интерпретации и нормировке результатов спектрального анализа и синтеза. Поэтому полезно познакомиться с дополнительными и вполне конкретными примерами, приведенным ниже.