-
С этого урока начинается серьезное освоение математических возможностей систем Mathematica 3 и 4. Мы изучим основные типы данных, операторов, функций и объектов, с которыми может работать система Mathematica 3/4, а попутно познакомимся и с некоторыми простыми операциями ввода данных и их обработки.
-
Символьные данные в общем случае могут быть отдельными символами (например a, b,…, z), строками (strings) и математическими выражениями ехрг (от expression – выражение), представленными в символьном виде. | Символьные строки задаются цепочкой символов в кавычках, например "sssss".
-
Наиболее общим видом сложных данных в системе являются списки (lists). Списки представляют собой совокупности однотипных или разнотипных данных, сгруппированных с помощью фигурных скобок: | { 1, 2, 3 } – список из трех целых чисел; | { а, b, с } – список из трех символьных данных;
-
К важному типу объектов принадлежат функции – объекты, имеющие имя и список параметров, возвращающие некоторое значение в ответ на обращение к ним по имени с указанием списка конкретных (фактических) значений параметров.
-
Константы являются типовыми объектами системы, несущими заранее предопределенное численное или символьное значение. Это значение не должно меняться по ходу вычисления документа. К численным константам относятся любые числа, непосредственно используемые в математических выражениях или программных объектах, например процедурах и функциях.
-
Переменными в математике принято называть именованные объекты, которые могут принимать различные значения, находящиеся в определенном множестве допустимых значений. Подобно этому, переменными в системе Mathematica являются именованные объекты, способные в ходе выполнения документа неоднократно принимать различные значения – как численные, так и символьные.
-
Операторы и функции являются основными кирпичиками в построении математических выражений, которые вычисляются или преобразуются системой Mathematica. Кроме того, это важнейшие элементы языка программирования системы. В данном разделе мы познакомимся с этими объектами.
-
Важнейшим объектом любой компьютерной математической системы является функция. Она отражает зависимость некоторой величины от одного или нескольких аргументов. Например, функция sin(x) дает зависимость синуса х от величины аргумента х при изменении последнего от -∞ до +∞.
-
Хотя в систему входят многие сотни встроенных функций (начиная от элементарных и кончая специальными математическими функциями и системными функциями), нередко требуется расширить ее вводом новых функций, действие которых задается пользователем.
-
Логическими принято называть операции, отражающие чисто логическое соответствие между данными. В обиходном языке эти связи выражаются утверждениями типа "да" или "нет". Например, на вопрос "Сын вырос выше отца?" мы можем ответить "да" или "нет".
-
Основные логические функции над логическими данными р, q и т. д. задаются следующим образом: | Not[p] или !р Логическое отрицание | And[p, q,…] или р && q &&… Логическое умножение – операция "И" | Or[p,q,…] или р || q | |… Логическое сложение – операция "ИЛИ" | Приведем примеры применения логических операторов и функций. | Ввод (In) | Вывод(Out) | And [True, True, True ] | True
-
Элементарные функции в системе Mathematica могут иметь аргумент в виде действительного числа х или комплексного z. Аргументы указываются как параметры функций в квадратных скобках. | Прежде всего отметим функции для работы с комплексными числами z: | Abs[z] – возвращает модуль комплексного числа z;
-
Элементарные функции, надо полагать, хорошо известны читателю, взявшемуся за изучение Mathematica. Полный набор этих функций с их синтаксисом дан в приложении. Отметим, что в Mathematica имена элементарных функций записываются с большой буквы, а их аргументы задаются в квадратных скобках.
-
В этом разделе мы познакомимся с понятием объектов и научимся работать с ними. Объект – понятие обобщенное. Под ним может подразумеваться оператор или функция, рисунок (графический объект) и т. д. Объекты могут иметь ряд свойств, определяющих их назначение и поведение.
-
Оперативную помощь о назначении какой-либо функции или объекта в ходе работы с системой можно получить, используя следующие обращения: | ? Name или Names [ "Name" ] – справка по заданному слову Name; | ?? Name – расширенная справка по заданному слову Name;
-
Средства диагностики органично входят во все программные модули системы Mathematica, созданные профессионально. Благодаря этому система обнаруживает неточные действия пользователя, например синтаксические ошибки при вводе идентификаторов функций и команд, неправильное использование типов данных, применение недопустимых операций (вроде злосчастного деления на ноль) и т. д.
-
Как уже отмечалось, объекты Mathematica имеют средства установки и снятия защиты от модификации. Для этого используются следующие функции-директивы: | Protect [s1, s2,…] – устанавливает атрибут защиты от модификации Protected для перечисленных объектов si;
-
Важное значение в числовых и символьных преобразованиях имеют операции подстановки (rules). Их смысл заключается в замене одного объекта или его части другим объектом или частью другого объекта. Например, часто возникает необходимость вычислить значение математического выражения при замене некоторой переменной ее конкретным численным значением.
-
Списки относятся к данным множественного типа. Они имеют большое значение при обработке массивов данных и служат основой для создания векторов и матриц. В этом разделе мы познакомимся со свойствами списков, их созданием (генерацией) и использованием.
-
Для генерации списков с элементами, являющимися вещественными и целыми числами или даже целыми выражениями, часто используется функция Table, создающая таблицу-список: | Table [expr, {imax} ] – генерирует список, содержащий imax экземпляров выражения ехрг;
-
Для выделения элементов списка list используются двойные квадратные скобки: | list [ [i] ] – выделяет i-й элемент списка; | list [ [ { i, j, – -.}]] – выделяет i-й, j-й и т. д. элементы списка. | Ниже приведены примеры выделения элементов списков. | Пример | Комментарий | 11: = {1.2.3.4.5)
-
Для вывода элементов списка используются следующие функции: | MatrixFormflist] – выводит список в форме массива (матрицы); | TableForm [list] – выполняет вывод элементов списка list в виде таблицы. | С этими функциями используются следующие опции:
-
Списки относятся к данным сложной структуры. Поэтому при работе с ними возникает необходимость контроля за структурой, иначе применение списков может привести к грубым ошибкам, как явным, сопровождаемым выдачей сообщения об ошибке, так и неявным. Последние могут привести к серьезным просчетам.
-
Списки можно представить в виде особой структуры данных – стека. Стек – это структура данных, напоминающая стопку тарелок в шкафу. При этом тарелки играют роль данных. Очередную тарелку можно положить только сверху (на вершину стека). На дне стека лежит первая помещенная в него тарелка.
-
Помимо добавления в список новых данных имеется возможность изменения порядка расположения элементов в списке. Она реализуется следующими операциями: | Flatten [list] – выравнивает (превращает в одномерный) список по всем его уровням; | Flatten [list, n] – выравнивает список по п его уровням;
-
Иногда возникает необходимость комбинирования нескольких списков. Для этого используются следующие функции: | Complement [list, list1, list2,…] – возвращает список list с элементами, которые не содержатся ни в одном из списков list1, Iist2,…;
-
Линейная алгебра – один из фундаментальных разделов математики. Он во многом способствовал развитию методов вычислений. Средства линейной алгебры (преобразование матриц, решение систем линейных уравнений и т.
-
Массивы, в основном в виде векторов и матриц, широко применяются при решении задач линейной алгебры. Прежде чем перейти к рассмотрению возможностей Mathematica в части решения таких задач, рассмотрим краткие определения, относящиеся к линейной алгебре.
-
Следующая группа функций системы Mathematica позволяет осуществлять над векторами и матрицами основные операции, используемые в линейной алгебре: | Cross [vl,v2, v3,…] – векторное произведение (может задаваться в виде v1*v2*v3*…);
-
Приведем также примеры на решение систем линейных уравнений матричными методами. В первом из них решение выполняется в символьном виде на основании формулы X = А-1 В, где А – матрица коэффициентов системы линейных уравнений, В – вектор свободных членов.