Основные понятия линейной алгебры
Массивы, в основном в виде векторов и матриц, широко применяются при решении задач линейной алгебры. Прежде чем перейти к рассмотрению возможностей Mathematica в части решения таких задач, рассмотрим краткие определения, относящиеся к линейной алгебре.
Матрица – прямоугольная двумерная таблица, содержащая m строк и n столбцов элементов, каждый из которых может быть представлен числом, константой, переменной, символьным или математическим выражением (расширительная трактовка матрицы).
Квадратная матрица – матрица, у которой число строк m равно числу столбцов n. Пример квадратной матрицы размером 3x3:
1 2 34 5 67 8 9Сингулярная (вырожденная) матрица – квадратная матрица, у которой детерминант (определитель) равен 0. Такая матрица обычно не упрощается при символьных вычислениях. Линейные уравнения с почти сингулярными матрицами могут давать большие погрешности при решении.
Единичная матрица – это квадратная матрица, у которой диагональные элементов равны 1, а остальные элементы равны 0. Ниже представлена единичная матрица размером 4x4:
| 1 | 0 | 0 | 0 | ||
| 0 | 1 | 0 | 0 | ||
| E | = | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
Транспонированная матрица – квадратная матрица, у которой столбцы и строки меняются местами. Приведем простой пример.
Исходная матрица:
| a | b | c | ||
| A | = | d | e | f |
| i | k | l |
Транспонированная матрица:
| a | d | i | ||
| Ат | = | b | e | k |
| c | f | l |
Обратная матрица – это матрица М-1, которая, будучи умноженной на исходную квадратную матрицу М, дает единичную матрицу Е.
Ступенчатая форма матрицы соответствует условиям, когда первый ненулевой элемент в каждой строке есть 1 и первый ненулевой элемент каждой строки появляется справа от первого ненулевого элемента в предыдущей строке, то есть все элементы ниже первого ненулевого в строке – нули.
Диагональ матрицы – расположенные диагонально элементы А., матрицы А. В приведенной ниже матрице элементы диагонали представлены заглавными буквами:
| A | b | c | ||
| А | = | d | E | f |
| i | k | L |
Обычно указанную диагональ называют главной диагональю – для матрицы А, приведенной выше, это диагональ с элементами А, Е и L. Иногда вводят понятия поддиагоналей (элементы d и k) и наддиагоналей (элементы b к f).
Ранг матрицы – наибольший из порядков отличных от нуля миноров квадратной матрицы.
След матрицы – сумма диагональных элементов квадратной матрицы. Определитель матрицы – это многочлен от элементов квадратной матрицы, каждый член которого является произведением п элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком произведения, заданным четностью перестановок:
detA = Сумма a1j(-1)j+|M|<j>Где M<J> – определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-то столбца. В таком виде определитель (он же детерминант) легко получить в символьных вычислениях. В численных расчетах мы будем подразумевать под определителем численное значение этого многочлена.
Матрица в целой степени – квадратная матрица в степени п (п – целое неотрицательное число), определяемая следующим образом: М° = Е, М1 = М, М2 = = М*М,…, Мn = Мn-1 -М.
- Идемпотентная матрица – матрица, отвечающая условию Р2 = Р.
- Инволютивная матрица – матрица, отвечающая условию I2 = Е.
- Симметрическая матрица – матрица, отвечающая условию Ат = А.
- Кососимметрическая матрица – матрица, отвечающая условию Ат = – А.
- Ортогональная матрица – матрица, отвечающая условию Ат = А-1.
- Комплексно-сопряженная матрица – матрица А, полученная из исходной матрицы А заменой ее элементов на комплексно-сопряженные.
- Эрмитова матрица – матрица А, удовлетворяющая условию А = А.
- Собственный вектор квадратной матрицы А – любой вектор х е Vn, х не равно 0, удовлетворяющий уравнению Ах = gx, где g – некоторое число, называемое собственным значением матрицы А.
- Характеристический многочлен матрицы – определитель разности этой матрицы и единичной матрицы, умноженный на переменную многочлена – |А – g Е|.
- Собственные значения матрицы – корни ее характеристического многочлена.
- Норма – обобщенное понятие абсолютной величины числа. Норма трехмерного вектора ||х|| – его длина. Норма матрицы – значение sup(||Ax||/||x||). I-норма матрицы А – число
- Матричная форма записи системы линейных уравнений – выражение А-Х = В, где А – матрица коэффициентов системы, X – вектор неизвестных, и В – вектор свободных членов. Один из способов решения такой системы очевиден – X = А-1 В, где А-1 – обратная матрица.