Вычисление пределов функций
Многие функции при приближении аргумента к некоторому значению или к некоторой области значений стремятся к определенному пределу. Так, функция sin(x)/x при х, стремящемся к нулю (обозначим это как х › 0), дает предел 1 в виде устранимой неопределенности 0/0.
Численные математические системы, равно как и большинство программ на обычных языках программирования, не воспринимают выражение 0/0 › 1 как объективную реальность. Их защитный механизм настроен на примитивное правило – ничего нельзя делить на 0. Следовательно, вычисление sin(x)/x при х = 0 будет сопровождаться выдачей ошибки типа "Деление на 0". Конечно, в данном конкретном случае можно предусмотреть особый результат – выдать 1 при х = 0. Но это частный случай. В целом же подобные системы "не понимают" понятия предела.
Пределом некоторых функций может быть бесконечность, тогда как многие функции стремятся к конечному пределу при аргументе х, стремящемся к бесконечности. Система Mathematica не только численно находит пределы функций, заданных аналитически, но и позволяет найти предел в виде математического выражения.
На рис. 4.10 представлены примеры применения функции Limit. Они показывают, что возможно вычисление пределов функций, устремляющихся к бесконечности, и вычисление пределов при переменной х, стремящейся в бесконечность. Вычисление пределов функций в аналитическом виде – важное достоинство систем символьной математики.
Рис. 4.10. Примеры вычисления пределов
При работе с функцией Limit используются следующие опции:
- Analytic – указывает, следует ли неопознанные функции интерпретировать как аналитические (значение по умолчанию – Automatic);
- Direction – указывает направление, в котором происходит приближение к пределу. Опция используется в виде Direction › -1 (или +1), по умолчанию выбор остается за системой (Automatic). Значение +1 означает предел слева, а -1 – справа (казалось бы, должно быть наоборот, но задано именно так).
Применение данных опций поясняют примеры, показанные на рис. 4.11.
Рис. 4.11. Примеры вычисления пределов с применением опций