Нечеткая логика
Ту роль, которую в классической теории множеств играет двузначная булева логика, в теории нечетких множеств играет многозначная нечеткая логика, в которой предположения о принадлежности объекта множеству, например FAST-CAR(Porche-944), могут принимать действительные значения в интервале от 0 до 1. Возникает вопрос, а как, используя концепцию неопределенности, вычислить значение истинности сложного выражения, такого как: FASTCAR(Chevy-Nova).
По аналогии с теорией вероятности, если F представляет собой нечеткий предикат, операция отрицания реализуется по формуле: F(X)=1-F(X).
Но аналоги операций конъюнкции и дизъюнкции в нечеткой логике не имеют никакой связи с теорией вероятностей. Рассмотрим следующее выражение:
"Porche 944 является быстрым (fast), представительским (pretentious) автомобилем".
В классической логике предположение: FAST-CAR(Porche-944) ^ PRETENTIOUS-CAR(Porche-944) является истинным в том и только в том случае, если истинны оба члена конъюнкции.
В нечеткой логике существует соглашение: если F и G являются нечеткими предикатами, то.
Таким образом, если:
FAST-CAR(Porche-944) = 0.9
PRETENTIOUS-CAR(Porche-944) = 0.7.
То:
FAST-CAR(Porche-944) ^ PRETENTIOUS-CAR(Porche-944) = 0.7.
А теперь рассмотрим выражение:
FAST-CAR(Porche-944) ^ FAST-CAR(Porche-944).
Вероятность истинности этого утверждения равна 0, поскольку:
P(FAST-CAR(Porche-944) | FAST-CAR(Porche-944)) = 0.
Но в нечеткой логике значение этого выражения будет равно 0.1. Какой смысл имеет это значение. Его можно считать показателем принадлежности автомобиля к нечеткому множеству среднескоростных автомобилей, которые в чем-то близки к быстрым, а в чем-то – к медленным.
Смысл выражения FAST-CAR(Porche-944) = 0.9 заключается в том, что мы только на 90% уверены в принадлежности этого автомобиля к быстрым именно из-за неопределенности самого понятия "быстрый автомобиль". Вполне резонно предположить, что существует некоторая уверенность в том, что Porche-944 не принадлежит к быстрым, например он медленнее автомобиля, принимающего участие в гонках "Формула-1".
Аналог операции дизъюнкции в нечеткой логике определяется следующим образом: f (F v G)(X) = max(fF(X),fG(X)).
Здесь также очевидна полная противоположность с теорией вероятностей, в которой:
Р(А v В) = Р(А) + Р(B) – Р(А ^ В).
Рассмотрим следующие предположения и значения истинности их принадлежности к нечеткому множеству FAST-CAR:
FAST-CAR(Porche-944) v FAST-CAR(Porche-944) = 0.9,
FAST-CAR(BMW-316) v FAST-CAR(BMW-316) = 0.5,
FAST-CAR(Chevy-Nova) v FAST-CAR(Chevy-Novd) = 0.9.
Значение вероятности истинности каждого из этих предположений, как это определено в теории вероятностей, равно 1. В нечеткой логике более высокие значения для автомобилей Porche-944 и Chevy-Nova объясняются тем фактом, что степень принадлежности каждого из этих объектов к нечеткому множеству FAST-CAR выше. Нечеткость концепции "быстрый или не быстрый" более благоприятна для них, чем для более медленного BMW-316, который "ни рыба ни мясо".
Операторы обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и взаимной дистрибутивности. Как к операторам в стандартной логике, к ним применим принцип композитивности, т.е. значения составных выражений вычисляются только по значениям выражений-компонентов. В этом операторы нечеткой логики составляют полную противоположность законам теории вероятностей, согласно которым при вычислении вероятностей конъюнкции и дизъюнкции величин нужно принимать во внимание условные вероятности.