Тест хи-квадрат (X 2)
При проведении теста хи-квадрат проверяется взаимная независимость двух переменных таблицы сопряженности и благодаря этому косвенно выясняется зависимость обоих переменных. Две переменные считаются взаимно независимыми, если наблюдаемые частоты (f0) в ячейках совпадают с ожидаемыми частотами (fe).
Для того, чтобы провести тест хи-квадрат с помощью SPSS, выполните следующие действия:
- Выберите в меню команды Analyze (Анализ) › Descriptive Statistics (Дескриптивные статистики) › Crosstabs… (Таблицы сопряженности)
- Кнопкой Reset (Сброс) удалите возможные настройки.
- Перенесите переменную sex в список строк, а переменную psyche – в список столбцов.
- Щелкните на кнопке Cells… (Ячейки). В диалоговом окне установите, кроме предлагаемого по умолчанию флажка Observed, еще флажки Expected и Standardized. Подтвердите выбор кнопкой Continue.
- Щелкните на кнопке Statistics… (Статистика).
Откроется описанное выше диалоговое окно Crosstabs: Statistics.
- Установите флажок Chi-square (Хи-квадрат). Щелкните на кнопке Continue, а в главном диалоговом окне – на ОК.
Вы получите следующую таблицу сопряженности.
Пол * Психическое состояние. Таблица сопряженности.
| Психическое состояние | Total | ||||||
| Крайне неустойчивое | Неустойчивое | Устойчивое | Очень устойчивое | ||||
| Пол | женский | Count | 16 | 18 | 9 | 1 | 44 |
| Expected Count | 7.9 | 16.6 | 17.0 | 2.5 | 44.0 | ||
| Std. Residual | 2.9 | 0.3 | -1.9 | -0.9 | |||
| Мужской | Count | 3 | 22 | 32 | 5 | 62 | |
| Expected Count | 11.1 | 23.4 | 24.0 | 3.5 | 62.0 | ||
| Std. Residual | -2.4 | -0.3 | 1.6 | 0.8 | |||
| Total | Count | 19 | 40 | 41 | 6 | 106 | |
| Expected Count | 19.0 | 40.0 | 41.0 | 6.0 | 106.0 | ||
Кроме того, в окне просмотра будут показаны результаты теста хи-квадрат:
Chi-Square Tests (Тесты хи-квадрат)
| Value (Значение) | df | Asymp. Sig. (2-sided) (Асимптотическая значимость (двусторонняя)) | |
| Pearson Chi-Square (Хи-квадрат по Пирсону) | 22.455(а) | 3 | 0.000 |
| Likelihood Ratio (Отношение правдоподобия) | 23.688 | 3 | 0.000 |
| Linear-by-Linear Association (Зависимость линейный-линейный) | 20.391 | 1 | 0.000 |
| N of Valid Cases (Кол-во допустимых случаев) | 106 |
- а. 2 cells (25.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 2.49 (2 ячейки (25%) имеют ожидаемую частоту менее 5. Минимальная ожидаемая частота 2.49.)
Для вычисления критерия хи-квадрат применяются три различных подхода: формула Пирсона, поправка на правдоподобие и тест Мантеля-Хэнзеля. Если таблица сопряженности имеет четыре поля и ожидаемая вероятность менее 5, дополнительно выполняется точный тест Фишера.
Критерий хи-квадрат по Пирсону
Обычно для вычисления критерия хи-квадрат используется формула Пирсона:
Здесь вычисляется сумма квадратов стандартизованных остатков по всем полям таблицы сопряженности. Поэтому поля с более высоким стандартизованным остатком вносят более весомый вклад в численное значение критерия хи-квадрат и, следовательно, – в значимый результат. Согласно правилу, приведенному в разделе 8.7.2, стандартизованный остаток 2 или более указывает на значимое расхождение между наблюдаемой и ожидаемой частотами.
В рассматриваемом нами примере формула Пирсона дает максимально значимую величину критерия хи-квадрат (р<0.001). Если рассмотреть стандартизованные остатки в отдельных полях таблицы сопряженности, то на основе вышеприведенного правила можно сделать вывод, что эта значимость в основном определяется полями, в которых переменная psyche имеет значение "крайне неустойчивое". У женщин это значение сильно повышено, а у мужчин – понижено.
Корректность проведения теста хи-квадрат определяется двумя условиями: во-первых, ожидаемые частоты < 5 должны встречаться не более чем в 20% полей таблицы; во-вторых, суммы по строкам и столбцам всегда должны быть больше нуля.
Однако в рассматриваемом примере это условие выполняется не полностью. Как указывает примечание после таблицы теста хи-квадрат, 25% полей имеют ожидаемую частоту менее 5. Однако, так как допустимый предел4в 20% превышен лишь ненамного и эти поля, вследствие своего очень малого стандартизованного остатка, вносят весьма незначительную долю в величину критерия хи-квадрат, это нарушение можно считать несущественным.
Критерий хи-квадрат с поправкой на правдоподобие
Альтернативой формуле Пирсона для вычисления критерия хи-квадрат является поправка на правдоподобие:
При большом объеме выборки формула Пирсона и подправленная формула дают очень близкие результаты. В нашем примере критерий хи-квадрат с поправкой на правдоподобие составляет 23.688.
Тест Мантеля-Хэнзеля
Дополнительно в таблице сопряженности под обозначением linear-by-linear ("линейный-по-линейному") выводится значение теста Мантеля-Хэнзеля (20.391). Эта форма критерия хи-квадрат с поправкой Мантеля-Хэнзеля – еще одна мера линейной зависимости между строками и столбцами таблицы сопряженности. Она определяется как произведение коэффициента корреляции Пирсона на количество наблюдений, уменьшенное на единицу:
Полученный таким образом критерий имеет одну степень свободы. Метод Мантеля-Хэнзеля используется всегда, когда в диалоговом окне Crosstabs: Statistics установлен флажок Chi-square. Однако для данных, относящихся к с номинальной шкале, этот критерий неприменим.