Задачи на собственные значения для ОДУ
Задачи на собственные значения – это краевые задачи для системы ОДУ, в которой правые части зависят от одного или нескольких параметров К. Значения этих параметров неизвестны, а решение краевой задачи существует только при определенных Xk, которые называются собственными значениями (eigenvalues) задачи. Решения, соответствующие этим Xk, называют собственными функциями (eigenfunctions) задачи. Правильная постановка таких задач требует формулировки количества граничных условий, равного сумме числа уравнений и числа собственных значений. Физическими примерами задач на собственные значения являются, например, уравнение колебаний струны, уравнение Шредингера в квантовой механике, уравнения волн в резонаторах и многие другие.
С вычислительной точки зрения, задачи на собственные значения очень похожи на рассмотренные выше краевые задачи. В частности, для многих из них также применим метод стрельбы (см. разд. 12.1.2). Отличие заключается в пристрелке не только по недостающим левым граничным условиям, но еще и по искомым собственным значениям. В Mathcad для решения задач на собственные значения используются те же функции sbval и bvaifit. В их первый аргумент, т. е. вектор, присваивающий начальные значения недостающим начальным условиям, следует включить и начальное приближение для собственного значения.
Рассмотрим методику решения на конкретном примере определения собственных упругих колебаний струны. Профиль колебаний струны у(х) описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка.
Где р(х) и q(x) – жесткость и плотность, которые, вообще говоря, могут меняться вдоль струны. Если струна закреплена на обоих концах, то граничные условия задаются в виде у(0)=у(1)=0. Сформулированная задача является частным случаем задачи Штурма-Лиувилля. Поскольку решается система двух ОДУ, содержащая одно собственное значение А,, то по идее задача требует задания трех (2+1) условий. Однако, как легко убедиться, уравнение колебаний струны – линейное и однородное, поэтому в любом случае решение у(х) будет определено с точностью до множителя. Это означает, что производную решения можно задать произвольно, например у' (0) =1, что и будет третьим условием. Тогда краевую задачу можно решать как задачу Коши, а пристрелку вести только по одному параметру – собственному значению.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней.
Процедура поиска первого собственного значения представлена в листинге 12.5.
Листинг 12.5. Решение задачи о собственных колебаниях струны:
В первых двух строках листинга определяются функции, входящие в задачу, в том числе р'(х): = о, и границы расчетного интервала (0.1). В третьей строке дается начальное приближение к собственному значению А0, в четвертой вводится система ОДУ. Обратите внимание, что она состоит не из двух, а из трех уравнений. Первые два из них определяют эквивалентную систему ОДУ первого порядка, а третье необходимо для задания собственного значения в виде еще одного компонента у2 искомого вектора у. Поскольку, по определению, собственное значение постоянно при всех х, то его производная должна быть приравнена нулю, что отражено в последнем уравнении. Важно также, что во втором из уравнений собственное значение записано как у2, поскольку является одним из неизвестных.
В следующих двух строках листинга задается левое граничное условие, включающее и недостающее условие на собственное значение для третьего уравнения, и правое граничное условие у0=0. В предпоследней строке листинга обычным образом применяется функция sbval, а в последней выводится результат ее работы вместе с известным аналитически собственным значением n2 pi2. Как легко убедиться, мы нашли первое собственное значение для n=1, а чтобы найти другие собственные значения, необходимо задать другие начальные приближения к ним (в третьей строке листинга 12.5). Например, выбор L0=50 приводит ко второму собственному значению 22 pi2, L0=50 – к третьему 32 pi2.
— Разгрузит мастера, специалиста или компанию;
— Позволит гибко управлять расписанием и загрузкой;
— Разошлет оповещения о новых услугах или акциях;
— Позволит принять оплату на карту/кошелек/счет;
— Позволит записываться на групповые и персональные посещения;
— Поможет получить от клиента отзывы о визите к вам;
— Включает в себя сервис чаевых.
Для новых пользователей первый месяц бесплатно.
Чтобы построить график соответствующей собственной функции, надо добавить в листинг строку, программирующую решение задачи Коши, например, такую: u: = rkfixed(load(a,A), а, b, 100, D). Полученные кривые показаны на рис. 12.6 в виде коллажа трех графиков, рассчитанных для трех собственных значений.
Примеры решения нескольких задач на собственные значения можно найти в разделе Mathcad Resources.
Рис. 12.6. Первые три собственные функции задачи колебаний струны (коллаж трех графиков)