Алгебраические уравнения и оптимизация
Одно уравнение с одним неизвестным
Рассмотрим одно алгебраическое уравнение с одним неизвестным х. | f(x) = 0, (1) | Например, sin(x)=0. | Для решения таких уравнений Mathcad имеет встроенную функцию root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, работает несколько по-разному. | root(f(х),х); | root(f(х),х,а,b); | f (х) – скалярная функция, определяющая уравнение (1);Корни полинома
Если функция f (х) является полиномом, то все его корни можно определить, используя встроенную функцию polyroots(v), где v – вектор, составленный из коэффициентов полинома. | Поскольку полином N-й степени имеет ровно N корней (некоторые из них могут быть кратными), вектор v должен состоять из N+I элемента.Системы уравнений
Рассмотрим решение системы N нелинейных уравнений с M неизвестными: | f1(x1,…,хм) = 0, | … (1) | fn(x1,…,хм) = 0, | Здесь f1(x1,…,хм),…, fn(x1, …,хм) – некоторые скалярные функции от скалярных переменных хмх2/ … /хм и, возможно, от еще каких-либо переменных.О численных методах решения систем уравнений
Если Вы решаете "хорошие" уравнения, как все те, которые были приведены в предыдущих разделах, то можете никогда не задумываться, как именно Mathcad ищет их корни. Однако даже в этом случае полезно представлять, что происходит "за кадром", т. е.Приближенное решение уравнений
Иногда приходится заменять задачу определения корней системы уравнений задачей поиска экстремума функции многих переменных. Например, когда невозможно найти решение с помощью функции Find, можно попытаться потребовать вместо точного выполнения уравнений условий минимизировать их невязку.Поиск экстремума функции. Экстремум функции одной переменной.
Задачи поиска экстремума функции означают нахождение ее максимума (наибольшего значения) или минимума (наименьшего значения) в некоторой области определения ее аргументов. Ограничения значений аргументов, задающих эту область, как и прочие дополнительные условия, должны быть определены в виде системы неравенств и (или) уравнений. В таком случае говорят о задаче на условный экстремум.Условный экстремум
В задачах на условный экстремум функции минимизации и максимизации должны быть включены в вычислительный блок, т. е. им должно предшествовать ключевое слово Given. В промежутке между Given и функцией поиска экстремума с помощью булевых операторов записываются логические выражения (неравенства, уравнения), задающие ограничения на значения аргументов минимизируемой функции.Экстремум функции многих переменных
Вычисление экстремума функции многих переменных не несет принципиальных особенностей по сравнению с функциями одной переменной. Поэтому ограничимся примером (листинг 8.14) нахождения максимума и минимума функции, показанной в виде графиков трехмерной поверхности и линий уровня на рис. 8.9.Линейное программирование
Задачи поиска условного экстремума функции многих переменных часто встречаются в экономических расчетах для минимизации издержек, финансовых рисков, максимизации прибыли и т. п. Целый класс экономических задач оптимизации описывается системами линейных уравнений и неравенств.Символьное решение уравнений
Некоторые уравнения можно решить точно с помощью символьного процессора Mathcad. Делается это очень похоже на численное решение уравнений с применением вычислительного блока. Присваивать неизвестным начальные значения нет необходимости.Метод продолжения по параметру
Решение "хороших" нелинейных уравнений и систем типа тех, которые были рассмотрены в предыдущих разделах этой главы, представляет собой несложную, с вычислительной точки зрения, задачу.