Обыкновенные дифференциальные уравнения
ОДУ первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка может по определению содержать, помимо самой искомой функции у (t), только ее первую производную y'(t). В подавляющем большинстве случаев дифференциальное уравнение можно записать в стандартной форме (форме Коши): | y(t) = f(y(t), t), (1) | И только с такой формой умеет работать вычислительный процессор Mathcad.Вычислительный блок Given/Odesolve
Вычислительный блок для решения одного ОДУ, реализующий численный метод Рунге-Кутты, состоит из трех частей: | Given – ключевое слово; | ОДУ и начальное условие, записанное с помощью логических операторов, причем начальное условие должно быть в форме у (t1) = b;Встроенные функции rkfixed, Rkadapt, Bulstoer
Альтернативный метод решения ОДУ перешел из прежних версий Mathcad. Он заключается в использовании одной из встроенных функций rkfixed, Rkadapt или Bulstoer. Этот способ несколько проигрывает первому и в простоте, и в наглядности. Поэтому я советую предпочесть вычислительный блок Given/odesoive.ОДУ высшего порядка
Обыкновенное дифференциальное уравнение с неизвестной функцией y(t), в которое входят производные этой функции вплоть до y(N) (t), называется ОДУ N-го порядка. Если имеется такое уравнение, то для корректной постановки задачи Коши требуется задать N начальных условий на саму функцию y(t) и ее производные от первого до (N-1) го порядка включительно.Системы ОДУ первого порядка
Mathcad требует, чтобы система дифференциальных уравнений была представлена в стандартной форме. | Задание системы эквивалентно следующему векторному представлению, где Y и У ' – соответствующие неизвестные векторные функции переменной t размера NXI, а р – векторная функция того же размера и (N+i) количества переменных (N компонент вектора и, возможно, t).Встроенные функции для решения систем ОДУ
В Mathcad 11 имеются три встроенные функции, которые позволяют решать поставленную в форме (2-3) задачу Коши различными численными методами. | rkfixed(y0, t0, t1, M, D) – метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом, | Rkadapt(y0, t0, t1, M, D) – метод Рунге-Кутты с переменным шагом;Решение систем ОДУ в одной заданной точке
Зачастую при решении дифференциальных уравнений требуется определить значения искомых функций не на всем интервале (t0,t1), а только в одной его последней точке. Например, весьма распространены задачи поиска аттракторов динамических систем.Некоторые примеры
В предыдущих разделах были использованы примеры исключительно линейных уравнений, т. е. содержащих только первую степень неизвестных функций и их производных. Между тем, многие нелинейные уравнения демонстрируют совершенно удивительные свойства, причем решение большинства из них можно получить лишь численно.Фазовый портрет динамической системы
До сих пор в этой главе в качестве примеров расчета динамических систем мы приводили графики траекторий на фазовой плоскости. Однако для надежного исследования фазового портрета необходимо решить систему ОДУ большое количество раз с самыми разными начальными условиями (и, возможно, с разным набором параметров модели), чтобы посмотреть, к каким аттракторам сходятся различные траектории.Жесткие системы ОДУ
До сих пор мы имели дело с "хорошими" уравнениями, которые надежно решались численными методами Рунге-Кутты. Однако имеется класс так называемых жестких (stiff) систем ОДУ, для которых стандартные методы практически неприменимы, поскольку их решение требует исключительно малого значения шага численного метода.Функции для решения жестких ОДУ
Решение жестких систем дифференциальных уравнений можно осуществить только с помощью встроенных функций, аналогичных по действию семейству рассмотренных выше функций для обычных ОДУ. | Radau(y0,t0,t1,M,F) – алгоритм RADAUS для жестких систем ОДУ;