-
Дифференциальное уравнение первого порядка может по определению содержать, помимо самой искомой функции у (t), только ее первую производную y'(t). В подавляющем большинстве случаев дифференциальное уравнение можно записать в стандартной форме (форме Коши): | y(t) = f(y(t), t), (1) | И только с такой формой умеет работать вычислительный процессор Mathcad.
-
Вычислительный блок для решения одного ОДУ, реализующий численный метод Рунге-Кутты, состоит из трех частей: | Given – ключевое слово; | ОДУ и начальное условие, записанное с помощью логических операторов, причем начальное условие должно быть в форме у (t1) = b;
-
Альтернативный метод решения ОДУ перешел из прежних версий Mathcad. Он заключается в использовании одной из встроенных функций rkfixed, Rkadapt или Bulstoer. Этот способ несколько проигрывает первому и в простоте, и в наглядности. Поэтому я советую предпочесть вычислительный блок Given/odesoive.
-
Обыкновенное дифференциальное уравнение с неизвестной функцией y(t), в которое входят производные этой функции вплоть до y(N) (t), называется ОДУ N-го порядка. Если имеется такое уравнение, то для корректной постановки задачи Коши требуется задать N начальных условий на саму функцию y(t) и ее производные от первого до (N-1) го порядка включительно.
-
Mathcad требует, чтобы система дифференциальных уравнений была представлена в стандартной форме. | Задание системы эквивалентно следующему векторному представлению, где Y и У ' – соответствующие неизвестные векторные функции переменной t размера NXI, а р – векторная функция того же размера и (N+i) количества переменных (N компонент вектора и, возможно, t).
-
В Mathcad 11 имеются три встроенные функции, которые позволяют решать поставленную в форме (2-3) задачу Коши различными численными методами. | rkfixed(y0, t0, t1, M, D) – метод Рунге-Кутты с фиксированным шагом, | Rkadapt(y0, t0, t1, M, D) – метод Рунге-Кутты с переменным шагом;
-
Зачастую при решении дифференциальных уравнений требуется определить значения искомых функций не на всем интервале (t0,t1), а только в одной его последней точке. Например, весьма распространены задачи поиска аттракторов динамических систем.
-
В предыдущих разделах были использованы примеры исключительно линейных уравнений, т. е. содержащих только первую степень неизвестных функций и их производных. Между тем, многие нелинейные уравнения демонстрируют совершенно удивительные свойства, причем решение большинства из них можно получить лишь численно.
-
До сих пор в этой главе в качестве примеров расчета динамических систем мы приводили графики траекторий на фазовой плоскости. Однако для надежного исследования фазового портрета необходимо решить систему ОДУ большое количество раз с самыми разными начальными условиями (и, возможно, с разным набором параметров модели), чтобы посмотреть, к каким аттракторам сходятся различные траектории.
-
До сих пор мы имели дело с "хорошими" уравнениями, которые надежно решались численными методами Рунге-Кутты. Однако имеется класс так называемых жестких (stiff) систем ОДУ, для которых стандартные методы практически неприменимы, поскольку их решение требует исключительно малого значения шага численного метода.
-
Решение жестких систем дифференциальных уравнений можно осуществить только с помощью встроенных функций, аналогичных по действию семейству рассмотренных выше функций для обычных ОДУ. | Radau(y0,t0,t1,M,F) – алгоритм RADAUS для жестких систем ОДУ;