-
Простейшие операции матричной алгебры реализованы в Mathcad в виде операторов. Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом Рассмотрим матричные и векторные операции Mathcad 11.
-
В Mathcad можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются символы + или -, соответственно. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выдано сообщение об ошибке.
-
При умножении следует помнить, что матрицу размерности MXN допустимо умножать только на матрицу размерности NXP (р может быть любым). В результате получается матрица размерности MXP. | Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой * или воспользоваться панелью инструментов Matrix (Матрица), нажав на ней кнопку Dot Product (Умножение) (рис. 9.1).
-
Определитель (Determinant) матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы можно нажать кнопку Determinant (Определитель) на панели инструментов Matrix (Матрица) (рис. 9.2) или набрать на клавиатуре | (нажав клавиши SHIFT + \).
-
Скалярное произведение векторов (vector inner product) определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов. | Векторы должны иметь одинаковую размерность, скалярное произведение имеет ту же размерность.
-
Векторное произведение (cross product) двух векторов u и v с углом Q между ними равно вектору с модулем |u||v|sinQ, направленным перпендикулярно плоскости векторов и и v. Обозначают векторное произведение символом х, который можно ввести нажатием кнопки Cross Product (Векторное произведение) в панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш CTRL + 8. Пример приведен в листинге 9.12. | Листинг 9.12.
-
Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю (листинг 9.14). Произведение исходной матрицы на обратную по определению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмите кнопку Inverse (Обратная матрица) на панели инструментов Matrix (Матрица). | Листинг 9.14.
-
Векторная алгебра Mathcad включает несколько необычный оператор, который называется оператором векторизации (vectorize operator). Этот оператор предназначен, как правило, для работы с массивами. Он позволяет провести однотипную операцию над всеми элементами массива (т. е.
-
Все матричные и векторные операторы, о которых шла речь выше, допустимо использовать в символьных вычислениях. Мощь символьных операций заключается в возможности проводить их не только над конкретными числами, но и над переменными. Несколько примеров приведены в листинге 9.18. | Листинг 9.18.
-
Перечислим основные встроенные функции, предназначенные для облегчения работы с векторами и матрицами. Они нужны для создания матриц, слияния и выделения части матриц, получения основных свойств матриц и т.п.
-
Из матрицы или вектора можно выделить либо подматрицу, либо вектор-столбец, либо отдельный элемент. И обратно, можно "склеить" несколько матриц в одну. | Выделение части матрицы | Часть матрицы выделяется одним из следующих способов:
-
Для получения сведений о характеристиках матриц или векторов предусмотрены следующие встроенные функции (листинг 9.26): | rows (A) – число строк; | cols (A) – число столбцов; | length (v) – число элементов вектора; | last (v) – индекс последнего элемента вектора; | А – матрица или вектор;
-
Часто бывает нужно переставить элементы матрицы или вектора, расположив их в определенной строке или столбце в порядке возрастания или убывания. Для этого имеются несколько встроенных функций, которые позволяют гибко управлять сортировкой матриц:
-
В линейной алгебре используются различные матричные нормы (norm), которые ставят в соответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику. Норма матрицы отражает порядок величины матричных элементов. В разных специфических задачах линейной алгебры применяются различные виды норм.
-
Еще одной важной характеристикой матрицы является ее число обусловленности (condition number). Число обусловленности является мерой чувствительности системы линейных уравнений Ах=b, определяемой матрицей А, к погрешностям задания вектора b правых частей уравнений.
-
Центральным вопросом вычислительной линейной алгебры является решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), т. е. систем уравнений вида: | аi1X1+аi2х2+…+ainхn=bi (1) | В матричной форме СЛАУ записывается в эквивалентном виде: | Ax = b, (2) | Где А – матрица коэффициентов СЛАУ размерности NXN, х – вектор неизвестных, b– вектор правых частей уравнений.
-
Вторая по частоте применения задача вычислительной линейной алгебры – это задача поиска собственных векторов х и собственных значений X матрицы А, т. е. решения матричного уравнения Ах=Хх.
-
Современная вычислительная линейная алгебра – бурно развивающаяся наука. Главная проблема, рассматриваемая ею, – это проблема решения систем линейных уравнений. В настоящее время разработано множество методов, упрощающих эту задачу, которые, в частности, зависят от структуры матрицы СЛАУ.
-
QR-разложением матрицы А называется разложение вида A=Q R, где Q – ортогональная матрица, а R – верхняя треугольная матрица. | qr(A) – QR-разложение; | А – вектор или матрица любого размера. | Результатом действия функции qr(A) является матрица L, составленная из матриц Q и к, соответственно.
-
L U-разложением матрицы А, или треугольным разложением, называется матричное разложение вида P A=L U и, где L и U – нижняя и верхняя треугольные матрицы, соответственно. P,A,L,U – квадратные матрицы одного порядка. | lu(A) – LU-разложение матрицы; | А – квадратная матрица.
-
Сингулярным разложением (singular value decomposition) матрицы А размера NXM (причем N>M) является разложение вида A=U S VT, где и и v – ортогональные матрицы размером NXN и мхм, соответственно, a s – диагональная матрица с сингулярными числами матрицы А на диагонали.
