Собственные векторы и собственные значения матриц
Вторая по частоте применения задача вычислительной линейной алгебры – это задача поиска собственных векторов х и собственных значений X матрицы А, т. е. решения матричного уравнения Ах=Хх. Такое уравнение имеет решения в виде собственных значений L1L2,… и соответствующих им собственных векторов x1, х2,… Для решения таких задач на собственные векторы и собственные значения в Mathcad встроено несколько функций, реализующих довольно сложные вычислительные алгоритмы:
- eigenvais(A) – вычисляет вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы А;
- eigenvecs(A) – вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А;
- n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного значения, вычисляемого eigenvais;
- eigenvec(A,A.) – вычисляет собственный вектор для матрицы А и заданного собственного значения L;
- А – квадратная матрица.
Применение этих функций иллюстрирует листинг 9.36. Проверка правильности нахождения собственных векторов и собственных значений приведена в листинге 9.37. Причем проверка правильности выражения Ах=Lх проведена дважды – сначала на числовых значениях х и L, а потом путем перемножения соответствующих матричных компонентов.
Листинг 9.36. Поиск собственных векторов и собственных значений:
Листинг 9.37. Проверка правильности нахождения собственных векторов собственных значений (продолжение листинга 9.36):
