Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 11

Дифференциальные уравнения в частных производных

• Постановка задач

  Классификация уравнений в частных производных | Постановка задач для уравнений в частных производных включает определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необходимого количества краевых условий (число и характер задания которых определяется спецификой уравнения).

• Пример: уравнение диффузии тепла

  На протяжении всей главы мы будем использовать в качестве примера очень наглядное и имеющее различные, от очевидных до самых неожиданных, решения уравнение теплопроводности. | Двумерное динамическое уравнение | Рассмотрим параболическое уравнение в частных производных, зависящее от трех переменных – двух пространственных х и у, а также от времени t.

• Разностные схемы

  Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности (3) и на его примере разберем наиболее часто использующийся для численного решения уравнений в частных производных метод сеток. Выпишем еще раз само уравнение а также и начальное и граничные условия которые необходимы для правильной с математической точки зрения постановки задачи.

• Явная схема Эйлера

  Рассмотрим сначала математические аспекты построения разностной схемы для уравнения диффузии тепла, а затем приведем примеры работы разработанного алгоритма применительно к линейному и нелинейному уравнениям.

• Неявная схема Эйлера

  В отличие от явной схемы Эйлера, неявная является безусловно устойчивой (т. е. не выдающей "разболтки" ни при каких значениях коэффициента Куранта). Однако, ценой устойчивости является необходимость решения на каждом шаге по времени системы алгебраических уравнений.

• О возможности решения многомерных уравнений

  Все, что было сказано до сих пор, касалось исключительно способов решения одномерных (в смысле пространственных координат) уравнений. И алгоритмы разностных схем, и встроенные функции, включая появившиеся в 11-й версии (см.

• Встроенные функции для решения уравнений в частных производных. Параболические и гиперболические уравнения.

  Как видно из предыдущего раздела, с уравнениями в частных производных вполне можно справиться, и не прибегая к специфическим средствам Mathcad. Между тем, в пакете Mathcad 11 имеется несколько встроенных функций, при помощи которых можно автоматизировать процесс решения дифференциальных уравнений в частных производных.

• Эллиптические уравнения

  Решение эллиптических уравнений в частных производных реализовано только для единственного типа задач – двумерного уравнения Пуассона. Это уравнение содержит вторые производные функции u(х,у) по двум пространственным переменным: | Уравнение Пуассона описывает, например, распределение электростатического поля u(х,у) в двумерной области с плотностью заряда f (х,у) или (см. разд.