Пример: уравнение диффузии тепла
На протяжении всей главы мы будем использовать в качестве примера очень наглядное и имеющее различные, от очевидных до самых неожиданных, решения уравнение теплопроводности.
Двумерное динамическое уравнение
Рассмотрим параболическое уравнение в частных производных, зависящее от трех переменных – двух пространственных х и у, а также от времени t.
Выражение в скобках в правой части уравнения (сумму вторых пространственных производных функции u часто, ради краткости, обозначают при помощи оператора Лапласа: du).
Это уравнение называется двумерным уравнением теплопроводности или, по-другому, уравнением диффузии тепла. Оно описывает динамику распределения температуры u(x,y,t) на плоской поверхности (например, на металлической пластине) в зависимости от времени (рис. 13.1). Физический смысл коэффициента в, который, вообще говоря, может быть функцией как координат, так и самой температуры, заключается в задания скорости перетекания тепла от более нагретых областей в менее нагретые. Функция ф(х,у,t,u) описывает приток тепла извне, т.е. источники тепла, которые также могут зависеть как и от пространственных координат (что задает локализацию источников), так и от времени и температуры и.
Рис. 13.1. Физическая модель, описываемая двумерным уравнением теплопроводности
Для того чтобы правильно поставить краевую задачу для двумерного уравнения теплопроводности, следует определить следующие дополнительные условия:
- граничные условия, т. е. динамику функции u(x,y,t) и / или ее производных на границах расчетной области;
- начальное условие, т. е. функцию u(x,y, t).
Если рассматривается не одно уравнение в частных производных, а система уравнений, то соответствующие начальные и граничные условия должны быть поставлены для каждой из неизвестных функций.