Краевые задачи
Краевые задачи для ОДУ. Постановка краевых задач.
Постановка краевых задач для ОДУ отличается от задач Коши, рассмотренных в главе 11, тем, что граничные условия для них ставятся не в одной начальной точке, а на обеих границах расчетного интервала.Алгоритм стрельбы
Для решения краевых задач в Mathcad реализован наиболее популярный алгоритм, называемый методом стрельбы или пристрелки (shooting method). Он, по сути, сводит решение краевой задачи к решению серии задач Коши с различными начальными условиями.Решение двухточечных краевых задач
Решение краевых задач для систем ОДУ методом стрельбы в Mathcad достигается применением двух встроенных функций. Первая предназначена для двухточечных задач с краевыми условиями, заданными на концах интервала.Решение краевых задач с дополнительным условием в промежуточной точке
Иногда дифференциальные уравнения определяются с граничными условиями не только на концах интервала, но и с дополнительным условием в некоторой промежуточной точке расчетного интервала. Чаше всего такие задачи содержат данные о негладких в некоторой внутренней точке интервала решениях.Задачи на собственные значения для ОДУ
Задачи на собственные значения – это краевые задачи для системы ОДУ, в которой правые части зависят от одного или нескольких параметров К. Значения этих параметров неизвестны, а решение краевой задачи существует только при определенных Xk, которые называются собственными значениями (eigenvalues) задачи. Решения, соответствующие этим Xk, называют собственными функциями (eigenfunctions) задачи.Разностные схемы для ОДУ. О разностном методе решения ОДУ.
Многие краевые задачи не поддаются решению методом стрельбы. Однако в Mathcad 11 других встроенных алгоритмов нет. Тем не менее, это не означает, что по-другому решать краевые задачи невозможно, ведь другие численные алгоритмы несложно запрограммировать самому пользователю.Жесткие краевые задачи
Один из случаев, когда применение разностных схем может быть очень полезным, связан с решением жестких краевых задач (подробнее о жестких ОДУ читайте в гл. 11). В частности, рассматриваемая задача о встречных световых пучках становится жесткой при увеличении коэффициента ослабления а(х) в несколько десятков раз.