Жесткие системы ОДУ
Для примера, приведенного в листинге 11.12, стандартным методом Вунге-Кутгы все-таки удается найти решение (оно показано на рис. 11.18). Однако для этого требуется очень большое число шагов, м=2000о, что делает (расчеты очень медленными. При меньшем числе шагов численному алгоритму не удается найти решение. В процессе работы алгоритма оно расходятся, и Mathcad вместо результата выдает ошибку о превышении предельно большого числа.
Еще один факт, на который стоит обратить внимание, – это различие в порядке величины получающегося решения. Как видно из рис. 11.18, концентрация первого реагента y1 существенно (в тысячи раз) превышает концентрацию остальных. Это свойство также очень характерно для жестких систем.
В принципе, можно было бы снизить жесткость системы "вручную", применяя масштабирование. Для этого нужно искусственно уменьшить искомую функцию yl, к примеру, в тысячу раз, разделив все слагаемые в системе ОДУ, содержащие y1, на 1000. После масштабирования для решения полученной системы методом Рунге-Кутты будет достаточно взять всего М=20 шагов.
Рис. 11.18. Решение жесткой системы ОДУ химической кинетики методом Рунге-Кутты (листинг 11.12)