Функции преобразования тригонометрических выражений
Хотя представленные выше функции иногда применимы для тригонометрических выражений, для последних есть ряд специальных функций, дающих более надежные результаты в ходе преобразований тригонометрических функций. В названии этой группы функций имеется слово Trig. Начнем с функции Trig-Expand [expr ], которая обеспечивает расширение выражения ехрг, содержащего тригонометрические и гиперболические функции. Представленные ниже примеры иллюстрируют работу этой функции:
TrigExpandfSin[a+b]] Cos[b] Sin[a] +Cos[a] Sin[b] TrigExpand[Cos[3*x]] TrigExpand[Cos[3*x]] Cos[x]3-3Cos[x] Sin[x]2 TrigExpand[Sinh[2^x]] 2Cosh[x] Sinh[x] TrigExpand[Sin[Cos[Tan[x]^2]]] Cos[1/2Cos[Tan[x]2] + 1/2ISin[Tan[x]2] Sin[1/2Cos[Tan[x]2] -1/2ISin[Tan[x]2] Cos[1/2Cos[Tan[x]2] -1/2ISin[Tan[x]2] Sin[1/2Cos[Tan[x]2] + 1/2ISin[Tan[x]2] TrigExpand[Sin[2*x]-Cos[3*x]^2] 1/2 Cos[x]6/2+2Cos[x] Sin[x] + 15/2Cos[x]4Sin[x]215/2Cos[x]2/Sin[x]4+Sin[x]6 /2 TrigExpand[Sin[2 ArcCoth[t]]] 2 Cos [ArcCoth[ t] ] Sin[ArcCoth[ t] ]Следующие две функции обеспечивают взаимные преобразования экспоненциальных и тригонометрических выражений:
- TrigToExp [expr] – преобразует тригонометрические выражения к экспоненциальному виду;
- ExpToTrig [expr] – преобразует экспоненциальные выражения в тригонометрические.
Примеры применения этих функций:
TrigToExp[Cos[z]] 1 / 2(EIz + EIz) ExpToTrig[ % ] Cos[z] f := Sinh[z] + Cosh[z] TrigToExp[f] Ez ExpToTrig[ % ] Cosh[z] + Sinh[z] TrigToExp[Sin[x] / Cos[y]] I(E - IX - EIX) / (E - IX + EIX) ExpToTrig[ % ] Sec[y] Sin[x]Приведем еще две функции:
- TrigFactor [expr] – раскладывает на простые множители тригонометрическое выражение ехрr;
- TrigFactorList [expr] – раскладывает тригонометрическое выражение ехрг на списки с термами выражения.
Следующие примеры показывают применение этих функций:
expr = TrigExpand[Sin[a + b]^3] 3/4Cos[b] Sinfa] -3/4 Cos [a]2 Cos [b]3 Sin [a] +1/4 Cos[b]3Sin[a]3 + 3/4 Cos[a] Sin[b]-3/4Cos[a]3Cos[b]2Sin[b] +9/4 Cos[a] Cos[b]2Sin[a]2 Sin[b] +9/4 Cos[apCos[b] Sin [a] Sin[a]2-3/4 Cos[b] Sin[a]-3 Sin[b]2 +1/4Cos[a]3Sin[b]3-3/4 Cos[a] Sin[a]2Sin[b]3 TrigFactor[expr] Sin[a+b]3 TrigFactorList[expr] {{1, 1}, {Sin[a+b], 3}} TrigExpand[Cosh[Sin[x*y]]] Cos[1/2 Cos[xy] -1/2 ISin[xy]] Cos[1/2 Cos[xy] + 1/2 ISin[xy]] Sin[1/2Cos[xy] -1/2 ISin[xy]] Sin[1/2 Cos[xy] + 1/2 ISin[xy]] TrigFactorList[%] {{1, 1}, {Cosh[Sin[xy]], 1}}Наконец, функция TrigReduce [expr] упрощает выражения с произведениями тригонометрических функций.
Примеры применения этой функции:
TrigReduce[2 * Sin[x] * Cos[y]] Sin[x - y] + Sin[x + y] TrigReduce[Cosh[x] * Tanh[x]] Sinh[x] TrigReduce[Sin[x] ^ 2 + Cos[x] ^ 2] 1TrigReduce[Sin[x] * Cos[x]] 1 / 2 Sin[2x] TrigReduce[Sinh[x / y] ^ 3] 1 / 4(-3Sinh[x / y] + Sinh[3x / y])Применение рассмотренных функций расширяет круг задач, решаемых с применением символьных преобразований.