Разложение функций в ряды
Разложение в ряды Тейлора и Маклорена
Для разложения в ряд Тейлора используется функция taylor(expr, eq/nm, n).
Здесь ехрr – разлагаемое в ряд выражение, eq/nm – равенство (в виде х=а) или имя переменной (например, х), n – необязательный параметр, указывающий на порядок разложения и представленный целым положительным числом (при отсутствии указания порядка он по умолчанию принимается равным 6). При задании eq/nm в виде х=а разложение производится относительно точки х =а. При указании eq/nm в виде просто имени переменной разложение ищется в окрестности нулевой точки, то есть фактически вычисляется ряд Маклорена.
Ниже представлены примеры применения функции taylor:
Не все выражения (функции) имеют разложение в ряд Тейлора. Ниже дан пример такого рода:
> taylor(1/x+x^2,x,5): Error, does not have a taylor expansion, try seriesQ > series(1/x+x^2,x,10); je-4*2 > taylor(1/x+x*2,x=l,5); 2 +x -1 + 2(x -1f -(x -1)3 +(x -1)4 +O((x -1)5)
Здесь Maple 7 отказалась от вычисления ряда Тейлора в окрестности точки х = 0 (по умолчанию) и предложил воспользоваться функцией series. Однако эта функция просто повторяет исходное разложение. В то же время в окрестности точки х = 1 ряд Тейлора вычисляется.
Для разложения в ряд Тейлора функций нескольких переменных используется библиотечная функция mtaylor:
mtaylor(f .v) mtaylorCf .v .n) mtaylor(f .v, n, w)
Здесь f – алгебраическое выражение, v – список имен или равенств, n – необязательное число, задающее порядок разложения, w – необязательный список целых чисел, задающих "вес" каждой из переменных списка v. Эта функция должна вызываться из библиотеки Maple 7 с помощью команды readlib:
Для получения только коэффициента при k=м члене ряда Тейлора можно использовать функцию coeftayl (expr,var,k). Если ехрr – функция нескольких переменных, то k должен задаваться списком порядков коэффициентов.