Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 11

Интегральные преобразования. Преобразование Фурье.

Интегральные преобразования массива сигнала у(х) ставят в соответствие всей совокупности данных у(х) некоторую функцию другой координаты F(V). Рассмотрим встроенные функции для расчета интегральных преобразований, реализованных в Mathcad.

Математический смысл преобразования Фурье состоит в представлении сигнала у(х) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(v)sin(vx). Функция F(v) называется преобразованием Фурье или интегралом Фурье, или Фурье-спектром сигнала. Ее аргумент v имеет смысл частоты соответствующей составляющей сигнала. Обратное преобразование Фурье переводит спектр F(V) в исходный сигнал у(х).

Как видно, преобразование Фурье является существенно комплексной величиной, даже если сигнал действительный.

Преобразование Фурье действительных данных

Преобразование Фурье имеет огромное значение для различных математических приложений, и для него разработан очень эффективный алгоритм, называемый БПФ (быстрым преобразованием Фурье). Этот алгоритм реализован в нескольких встроенных функциях Mathcad, различающихся нормировками.

• fft(y) – вектор прямого преобразования Фурье;
• FFT(Y) – вектор прямого преобразования Фурье в другой нормировке;
• ifft(v) – вектор обратного преобразования Фурье;
• IFFT(V) – вектор обратного преобразования Фурье в другой нормировке;
  • у – вектор действительных данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
  • v – вектор действительных данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

Аргумент прямого Фурье-преобразования, т. е. вектор у, должен иметь ровно 2ⁿ элементов (n – целое число). Результатом является вектор с 1+2^n-1 элементами. И наоборот, аргумент обратного Фурье-преобразования должен иметь 1+2^n-1 элементов, а его результатом будет вектор из 2ⁿ элементов. Если число данных не совпадает со степенью 2, то необходимо дополнить недостающие элементы нулями.

Рис. 15.24. Исходные данные и обратное преобразование Фурье (листинг 15.20)

Пример расчета Фурье-спектра для суммы трех синусоидальных сигналов разной амплитуды (показанных в виде сплошной кривой на рис. 15.24), приведен в листинге 15.20. Расчет проводится по N=128 точкам, причем предполагается, что интервал дискретизации данных ух равен А. В предпоследней строке листинга применяется встроенная функция if ft, а в последней корректно определяются соответствующие значения частот Qx. Обратите внимание, что результаты расчета представляются в виде модуля Фурье-спектра (рис. 15.25), поскольку сам спектр является комплексным. Очень полезно сравнить полученные амплитуды и местоположение пиков спектра с определением синусоид в листинге 15.20.

Листинг 15.20. Быстрое преобразование Фурье:

Результат обратного,преобразования Фурье показан в виде кружков на том же рис. 15.24, что и исходные данные. Видно, что в рассматриваемом случае сигнал у(х) восстановлен с большой точностью, что характерно для плавного изменения сигнала.