Метод продолжения по параметру
Решение "хороших" нелинейных уравнений и систем типа тех, которые были рассмотрены в предыдущих разделах этой главы, представляет собой несложную, с вычислительной точки зрения, задачу. В реальных инженерных и научных расчетах очень распространена более сложная проблема: решение не одного уравнения (или системы), а целой серии уравнений, зависящих от некоторого параметра (или нескольких параметров). Для таких задач существуют очень эффективные методы, которые называются методами продолжения. Эти методы непосредственно не встроены в Mathcad, но могут быть легко запрограммированы с помощью уже рассмотренных нами средств. Будем далее говорить об одном уравнении, имея в виду, что всегда возможно обобщение результатов на случай системы уравнений.
Пусть имеется уравнение f (а,х)=0, зависящее не только от неизвестного х, но и от параметра а. Требуется определить зависимость его корня х от параметра а, т. е. х(а). Простой пример такой задачи был приведен в листинге 5.3 (см. разд. 5.1.2). Тогда нам повезло, и решение в общем виде было найдено с помощью символьных вычислений. Рассмотрим еще один, чуть более сложный, пример алгебраического уравнения, зависящего от параметра а следующим образом: ln(ах2)=х (рис. 5.11).
Листинг 5.17. Попытка отыскания зависимости x(a) решения уравнения ln(ax2)=x:
Рис. 5.11. График функции ln(ах2)=х (для а=3 и а=30)
Решим данное уравнение методом секущих, применяя для этого встроенную функцию root. Самый простой, но далеко не лучший, способ иллюстрируется листингом 5.17. Начинается листинг с вывода графика функции ln(ах2)=х, корни которой нам предстоит исследовать (ради определенности, для положительных значений х). Глядя на график, сразу можно сказать, что на рассматриваемом интервале уравнение будет иметь два решения (для каждого значения параметра а, больших некоторого порогового значения, ниже которого, видимо, уравнение вовсе не имеет корня).
Для того чтобы получить зависимость решения уравнения от параметра а, в следующих строках листинга создается ранжированная переменная i, с помощью которой определяется вектор значений параметра ai. Его элементы пробегают значения от 3 до 33 с шагом 1(эти числа взяты ради примера, вы можете поэкспериментировать с другими значениями и убедиться в том, что для значений параметра ниже порога а=3 решение уравнения отсутствует).
Последняя строка листинга присваивает элементам еще одного вектора у вычисленные с помощью функции root значения корней уравнения для каждого ai. Но для того чтобы функция root заработала, необходимо предварительно задать начальное приближение к решению, что сделано в предыдущей строке. Ключевой момент метода, примененного в листинге 5.17, заключается в том, что одно и то же начальное значение х=1 использовано для решения уравнения при всех ai.
Результат расчетов yi показан на рис. 5.12. Обратите внимание, что по мере увеличения а кривая корней уравнения сначала плавно идет по одному (нижнему) семейству решений, а потом (в районе а=и) явно срывается, "перепрыгивая" на другое семейство. С вычислительной точки зрения такая ситуация чаще всего крайне неблагоприятна, поскольку хотелось бы отыскать непрерывное семейство решений. Скачки зависимости у (а) могут вводить пользователя в заблуждение, вовсе скрывая от него существование нижнего семейства решений при а>n.
Рис. 5.12. Попытка отыскания зависимости х (а) решения уравнения ln(ах2)=х (продолжение листинга 5.17)