Обыкновенные дифференциальные уравнения: динамические системы
О постановке задач. Задачи Коши для ОДУ.
В этой главе рассматриваются численные методы решений задач с начальными условиями (называемых задачами Коши) для обыкновенных дифференциальных уравнений (далее используется сокращение ОДУ).Фазовый портрет динамической системы
Модели, основанные на задачах Коши для ОДУ, часто называют динамическими системами, подчеркивая, что, как правило, они содержат производные по времени t и описывают динамику некоторых параметров. Проблемы, связанные с динамическими системами, на самом деле весьма разнообразны и зачастую не сводятся к простому интегрированию ОДУ.Дифференциальное уравнение N-го порядка
Для решения ОДУ порядка N>1 в Mathcad предусмотрены две возможности: | вычислительный блок Given/odesolve (начиная с версии 2000) – в этом случае решение имеет вид функции от t; | встроенные функции решения систем ОДУ, причем уравнения высших порядков необходимо предварительно свести к эквивалентной системе уравнений первого порядка, как об этом рассказано в разд.Система N дифференциальных уравнений. Встроенные функции для решения систем ОДУ.
При помощи Mathcad можно решать системы N>1 ОДУ первого порядка, если они записаны в стандартной форме (Коши) в виде векторного соотношения: Y' (t)=F(Y(t),t) (см. разд. 9.1. 1). | В Mathcad имеется несколько встроенных функций, которые позволяют решать задачу Коши различными численными методами.Решение одного уравнения (N=1)
Метод решения ОДУ при помощи встроенных функций rkfixed, Rkadapt или Bulstoer (в противоположность вычислительному блоку Given/odesoive) сохранился с прежних версий Mathcad (до 2000-й).Решение систем ОДУ в одной заданной точке
Зачастую при решении дифференциальных уравнений требуется определить значения искомых функций не на всем интервале (t0,t1), а только в одной его последней точке. Например, весьма распространены задачи поиска аттракторов динамических систем.О численных методах
В завершение раздела сделаем несколько важных замечаний относительно выбора численного алгоритма решения ОДУ и задания его параметров. Они не претендуют на общность, но, надеемся, будут весьма полезны читателю, особенно в случае возникновения проблем.Жесткие системы ОДУ
До сих пор мы имели дело с "хорошими" уравнениями, которые надежно решались численными методами Рунге-Кутты. Однако имеется класс так называемых жестких (stiff) систем ОДУ, для которых стандартные методы практически неприменимы, поскольку их решение требует исключительно малого значения шага численного метода.Функции для решения жестких ОДУ
Решение жестких систем дифференциальных уравнений можно осуществить только с помощью встроенных функций, аналогичных по действию семейству рассмотренных выше функций для обычных ОДУ: | Radau(y0,t0,t1,M,F) – алгоритм RADAUS для жестких систем ОДУ;Пример: химическая кинетика
Рассмотрим классическую модель химической кинетики (Робертсон, 1966), которая как нельзя лучше передает смысл понятия жесткости ОДУ. | Попытка решения стандартными методами | Рассмотрим составную схему химического взаимодействия трех веществ.Примеры: классические динамические системы. Модели динамики биологических популяций.
В предыдущих разделах было использовано в качестве примера в основном линейное уравнение осциллятора (оно содержало только первую степень неизвестных функций и их производных). Между тем многие нелинейные уравнения демонстрируют совершенно удивительные свойства, причем решение большинства из них можно получить лишь численно.Автоколебания
Рассмотрим решение уравнения Ван дер Поля, описывающего электрические колебания в замкнутом контуре, состоящем из соединенных последовательно конденсатора, индуктивности, нелинейного сопротивления и элементов, обеспечивающих подкачку энергии извне (листинг 9.14).Странный аттрактор
Одна из самых знаменитых динамических систем предложена в 1963 г. Лоренцем в качестве упрощенной модели конвективных турбулентных движений жидкости в нагреваемом сосуде тороидальной формы. Система состоит из трех ОДУ и имеет три параметра модели (листинг 9.15).Брюсселятор
До сих пор в этой главе в качестве примеров расчета динамических систем мы приводили графики 1-3 траекторий на фазовой плоскости. Однако для надежного исследования фазового портрета необходимо решить систему ОДУ большое количество раз с самыми разными начальными условиями (и, возможно, с разным набором параметров модели), чтобы посмотреть, к каким аттракторам сходятся различные траектории.