Функции для решения жестких ОДУ
Решение жестких систем дифференциальных уравнений можно осуществить только с помощью встроенных функций, аналогичных по действию семейству рассмотренных выше функций для обычных ОДУ:
- Radau(y0,t0,t1,M,F) – алгоритм RADAUS для жестких систем ОДУ;
- stiffb(y0,t0.1,M,F, J) – алгоритм Булирша-Штера для жестких систем ОДУ;
- stiffr (y0, t0, t1,M, F, J) – алгоритм Розенброка для жестких систем ОДУ:
- у0 – вектор начальных значений в точке to;
- t0,t1 – начальная и конечная точки расчета;
- M – число шагов численного метода;
- F – векторная функция F(t, у) размера 1xN, задающая систему ОДУ;
- J – матричная функция j(t,y) размера (N+1)xN, составленная из вектора производных функции F(t,y) по t (правый столбец) и ее якобиана (N левых столбцов).
Как вы можете заметить, для двух последних функций серьезным отличием от функций, решающих нежесткие системы, является добавление к стандартному набору параметров дополнительной матричной функции, задающей якобиан системы ОДУ. Решение выдается в виде матрицы, по форме идентичной аналогичным функциям решения нежестких задач Коши.
Примечание
Встроенная функция Radau, которая не требует явного задания якобиана системы уравнений, появилась в версии Mathcad 2001I, а остальные две – в Mathcad 2001.
Решение жесткой задачи из предыдущего раздела при помощи функции Radau приведено в листинге 9.9. Результат показан в виде графика на рис. 9.14 вместе с графиком решения менее жесткой задачи (для которого применялся листинг 9.8). Как вы видите, хватило всего пяти точек разбиения интервала интегрирования жесткого ОДУ, чтобы метод с ним справился. Специфика применения других встроенных функций, требующих дополнительного задания якобиана, будет рассмотрена в следующем разделе на примере уравнения химической кинетики.
Листинг 9.9. Решение жесткого ОДУ алгоритмом RADAUS:
Рис. 9.14. Решение жесткого ОДУ методом RADAUS (продолжение листингов 9.8 и 9.9)
В заключение приведем соответствующие встроенные функции, которые применяются для решения жестких систем ОДУ не на всем интервале, а только в одной заданной точке t1.
- radau (y0,t0,t1,асc,F,k,s) – метод RADAUS.
- stiffb (y0,t0,t1,acc,F,J,k,s) – метод Булирша-Штера.
- stiffr (y0,t0,t1,acc,F,J,k,s) – метод Розенброка.
Имена этих функций пишутся со строчной буквы, а их действие и набор параметров полностью аналогичны рассмотренным нами ранее для функций, относящихся к решению в заданной точке нежестких систем (см. разд. 9.3.2). Отличие заключается в специфике применяемого алгоритма и необходимости задания матричной функции якобиана J(t,y) (для двух последних функций).