Фазовый портрет динамической системы
Модели, основанные на задачах Коши для ОДУ, часто называют динамическими системами, подчеркивая, что, как правило, они содержат производные по времени t и описывают динамику некоторых параметров. Проблемы, связанные с динамическими системами, на самом деле весьма разнообразны и зачастую не сводятся к простому интегрированию ОДУ. Некоторые из них мы обозначим в данном разделе, отметив, что для изучения динамических систем центральным моментом является анализ фазовых портретов, т. е. решений, получающихся при выборе всевозможных начальных условий.
Решение ОДУ часто удобнее изображать не в виде графика у0 (t), y1(t),…, как на рис. 9.1, а в фазовом пространстве, по каждой из осей которого откладываются значения каждой из найденных функций. При таком построении графика аргумент t будет присутствовать на нем лишь параметрически. В рассматриваемом случае двух ОДУ (мы свели к ним в предыдущем разделе дифференциальное уравнение осциллятора второго порядка) фазовое пространство является координатной плоскостью, а решение представляет собой кривую, или, по-другому, траекторию, выходящую из точки, координаты которой равны начальным условиям (рис. 9.2). В общем случае, если система состоит из N ОДУ, то фазовое пространство является N-мерным. При N>3 наглядность теряется, и для визуализации фазового пространства приходится строить его различные проекции или прибегать к другим специальным приемам (например, отображению Пуанкаре).
Рис. 9.2. Решение уравнения w2 у' '+βу'+у=0 на фазовой плоскости (продолжение листинга 9.1)
Как правило, решение задач Коши для ОДУ и их систем – задача хорошо разработанная и с вычислительной точки зрения довольно простая. На практике чаще встречаются другие, более сложные задачи, в частности, исследование поведения динамической системы в зависимости от начальных условий. При этом в большинстве случаев бывает необходимым изучить только асимптотическое решение ОДУ, т.е. y(t › ∞), называемое аттрактором. Очень наглядным образом можно визуализировать такую информацию на фазовой плоскости, во многом благодаря тому, что существует всего несколько типов аттракторов, и для них можно построить четкую классификацию.
С одной стороны, каждое решение будет выходить из точки, координаты которой являются начальными условиями, но, оказывается, для большинства ОДУ целые семейства траекторий будут заканчиваться в одних и тех же аттракторах (стационарных точках или предельных циклах). Множество решений, вычисленное для всевозможных начальных условий, образует фазовый портрет динамической системы. С вычислительной точки зрения задача исследования фазового портрета часто сводится к обычному сканированию семейств решений ОДУ при разных начальных условиях.
— Регулярная проверка качества ссылок по более чем 100 показателям и ежедневный пересчет показателей качества проекта.
— Все известные форматы ссылок: арендные ссылки, вечные ссылки, публикации (упоминания, мнения, отзывы, статьи, пресс-релизы).
— SeoHammer покажет, где рост или падение, а также запросы, на которые нужно обратить внимание.
SeoHammer еще предоставляет технологию Буст, она ускоряет продвижение в десятки раз, а первые результаты появляются уже в течение первых 7 дней. Зарегистрироваться и Начать продвижение
Примечание
Для рассматриваемого примера модели гармонического осциллятора имеется единственная стационарная точка (аттрактор), на которую "накручивается" решение, из каких бы начальных условий оно ни выходило. В теории динамических систем аттрактор такого типа называется фокусом.
Дальнейшее усложнение задач анализа фазовых портретов связано с их зависимостью от параметров, входящих в систему ОДУ. В частности, при плавном изменении параметра модели может меняться расположение аттракторов на фазовой плоскости, а также могут возникать новые аттракторы и прекращать свое существование старые. В первом случае, при отсутствии особенностей, будет происходить простое перемещение аттракторов по фазовой плоскости (без изменения их типов и количества), а во втором – фазовый портрет динамической системы будет коренным образом перестраиваться. Критическое сочетание параметров, при которых фазовый портрет системы качественно меняется, называется в теории динамических систем точкой бифуркации.
Поясним понятие бифуркации на примере той же модели осциллятора, которая зависит от двух параметров (ш и р). При р>0 существует единственная стационарная точка типа фокуса (см. рис. 9.2), которая в точке бифуркации Р=0 вырождается в аттрактор типа центр, характеризующийся тем, что решения ОДУ представляют собой циклы, совершаемые вокруг этой точки с амплитудой, которая существенно зависит от начальных условий (рис. 9.3). Для надежного исследования фазового портрета практически всегда необходимо решить систему ОДУ большое количество раз с самыми разными начальными условиями (и, возможно, с разным набором параметров модели), чтобы посмотреть, к каким аттракторам сходятся различные траектории.
Рис. 9.3. Решение уравнения со2-у' '+у=0 для различных начальных условий (коллаж графиков)
Резюмируя содержание вводного раздела главы, перечислим еще раз типичные постановки задач, характерные для динамических систем:
- решение одной задачи Коши для ОДУ;
- исследование фазового портрета (поиск аттракторов);
- отыскание зависимости положения аттракторов в фазовом пространстве от параметров модели и фиксация бифуркационных значений параметров.
В дальнейших разделах этой главы при рассказе о возможностях Mathcad мы будем в первую очередь описывать решение первой (базовой) задачи, для которой предусмотрен целый арсенал средств. А именно: вычислительный блок для решения ОДУ (см. разд. 9.2), несколько встроенных функций для решения систем ОДУ (см. разд. 9.3), в том числе жестких, которые не поддаются решению стандартными методами (см. разд. 9.4). Приемы, которые автор рекомендует в качестве идиом решения остальных задач, будут рассмотрены эпизодически, на конкретных примерах классических динамических систем вычислительной физики, химии и биологии (см. разд. 9.5 и 9.4.3), связанных с динамическими системами. В частности, программа для визуализации фазового портрета рассмотрена в конце главы, на примере модели брюсселятора (см. разд. 9.5.4). Сводка алгоритмов с рекомендациями по их применению в зависимости от типа задачи приведена конспективно, без детального разбора (см. разд. 9.3.4).